论文临床治疗数据的统计分析.doc

课程名称：数学建模论文题目：临床治疗数据的统计分析姓名：学号：院系：信息工程学院专业：电子信息工程 临床治疗数据的统计分析注意：期末论文格式必须严格依照本模版撰写，不符规范的论文将酌情扣分！摘要：本文主要研究了白血病缓解药物是否有显著效果，白血病缓解效果的分析是一个关键词：删失数据 参数分布 数据拟合一 问题叙述北京肿瘤医院在一项持续一年的白血病临床试验中，将42位白血病患者随机分为两组，每组21人。对一组患者用真实药物MP治疗以缓解病痛，对另一组病人使用安慰剂（外形与药物一模一样而不含实际药效，主要成分为维生素）。患者并不知道自己吃的到底是真的药物还是安慰剂。医院课题组记录下每个患者的病痛缓解时间，持续时间越长表明疗效越好，数据如下表。数据后面有“+”号的，表示项目结束时缓解依然持续。例如：处理组中的20+表示患者在结束前20周进入临床治疗，使用药物后缓解持续到结束。因此患者的实际缓解时间至少为20周，很可能要更长。这样的数据在统计学中称为删失数据（censored data）。医学工作者关注的问题是：药物MP能否显著延长患者的病痛缓解时间？若不能，则放弃研究此药；否则进一步研究此药，并对患者使用的效果进行量化评估。处理组（服用药物）21人6，6，6，7，10，13，16，22，23，6+，9+，10+，11+，17+，19+，20+，25+，32+，32+，34+，35+控制组（服用安慰剂）21人1，1，2，2，3，4，4，5，5，8，8，8，8，11，11，12，12，15，17，22，23二 模型假设（此项可与三四项合并为“模型分析与假设”）1、 数据适用于参数模型。2、 病人年龄、性别，体质等的差异对缓解时间无影响。3、 认为样本容量对于数据分析足够大。三模型分析根据题目要求，需对两组数据进行拟合分析并观察是否有显著性差异。由于样本容量不大，而且有删失数据，我们将采用参数模型的分析方法：1. 分别对处理组和控制组拟合参数分布。 2. 用参数假设检验的方法来找出处理组和控制组的数据分布是否有显著性差异，从而判断出药物MP能否显著延长患者的病痛缓解时间。3. 如果第二步中有显著性差异，则进一步研究并预测病人在使用MP后缓解时间的有关参数，对患者使用的效果进行量化评估。四符号定义（此项可与二、三项合并为“模型分析与假设”，符号可在mathtype界面打印）生存函数危险率累积危险率病痛缓解时间X的期望五模型建立和求解首先引入两个接下来在刻画时间分布模型的特征方面用到的重要函数：生存函数和危险率。生存函数是指患者的病痛缓解时间超过某个时刻的概率，定义为：。危险率刻画的是在患者的病痛缓解时间超过某个时刻的条件下，下一瞬间发病的危险性，记危险率为，其定义为：，由生存公式的定义，按照条件概率公式及导数的定义和计算，危险率定义等价于：。1、对控制组的数据拟合由于控制组的数据是完整的，没有删失数据，而且我们已假设病人年龄、体制的差异对缓解时间无影响，故可以认为在任何时刻缓解持续的结束是随机的，因此我们采用指数分布刻画持续时间。指数分布的生存函数为，其中参数。指数分布只有一个参数，其极大似然估计为，其中为样本均值。对于控制组数据。因此我们用期望的指数分布拟合出控制组数据。2、 对处理组的数据拟合对于处理组，由于数据有删失，我们先假设其服从指数分布（后面模型评估会给出假设成立的证明），我们用最大似然估计其参数。对于一个删失数据，它表示的是病痛缓解失效时间是在以后，因此，当存在删失数据时，记删失数据为（允许重复），完全数据为（允许重复），则似然函数为。对似然函数关于参数求最大值点，就得到的最大似然估计。对于指数分布，可以算出对数似然函数为的最大似然估计为。对于处理组，代入数据计算得出最大似然估计。3、 对比分析之前我们已经用指数分布拟合出控制组和处理组的数据，为回答题目中药物MP能否显著延长患者的病痛缓解时间的问题，我们现进行参数的假设检验，用和分别记为控制组和处理组所对应的参数，则有假设：。这里我们用似然比检验：当假设为真时，控制组和处理组的数据看成是来自同一指数分布总体的样本，其对数似然函数为，代入数值计算出；当假设为真时，控制组和处理组的数据来自不同的指数分布总体样本，似然函数是两样本似然函数的乘积，分别求两组的似然函数和对数似然值，得。最后我们得到负二倍对数似然比，它在假设下的分布可以用自由度为1的分布近似，值在01之间，且越小就越对假设不利。可以计算出，其值为0.00003，非常小。假设检验结果显示两组样本的分布有显著的差别。这个结果证明了MP能显著延长患者的病痛缓解时间。4、 具体缓解时间的研究我们已经得出MP能显著延长患者的病痛缓解时间的结论，在此基础上，对MP的效果进行评估。考虑以下三个问题：（1） 病人使用MP后的期望缓解时间；（2） 病人使用MP后缓解持续时间超过26周的概率；（3） 病人使用MP后有80%的可能性缓解持续时间不短于某个下限。用Z记病人使用MP后缓解持续时间，这是个随机变量，上述三个问题可以通过之前的数据解出：（1）；（2）（3）既病人使用MP后的期望缓解时间为40周；病人使用MP后缓解持续时间超过26周的概率为0.522；病人使用MP后有80%的可能性缓解持续时间不短于9周。六模型的评估和改进模型评估由于可以拟合样本的参数分布有很多，在模型评估中我们主要来证明指数分布可以很好的拟合我们的数据。对于指数分布我们考察它的累积危险率。这是一条关于时间变量x的直线。利用数据我们可以得到的经验估计，若大致呈直线走势，则可以直观地认为指数分布对于数据的拟合是比较好的。控制组中生存函数的经验估计定义为“大于x的数据个数”，而。代入数据计算，有：10.9050.10010.9050.10020.8100.21120.8100.21130.7620.27240.6670.40540.6670.40550.5710.56050.5710.56080.3810.96580.3810.96580.3810.96580.3810.965110.2861.252110.2861.252120.1901.661120.1901.661150.1431.945170.0952.354220.0483.037230.000 由表格画出函数图为：上图显示的图像，可以看出，的图像非常接近于一条直线，据此可以认为指数分布很好的拟合了控制组数据。对于处理组，由于有删失数据的影响，我们定义：不同的缓解时间数据从小到大记为中不包含删失数据；对于，大于等于的数据个数记为，中包含删失数据。由此可定义经验估计：。经验累积危险率。代入数据可得：6210.8570.1546210.8570.1546210.8570.1547170.8070.21410150.7530.28413120.6900.37116110.6270.4692270.5380.6202360.4480.803画出图像为：处理组数据的图像也非常接近于直线，可以认为处理组的缓解时间也遵从于指数分布。模型改进在模型建立里具体缓解时间的研究中，我们通过对参数的点估计与计算得出了病人使用MP后的期望缓解时间为40周；病人使用MP后缓解持续时间超过26周的概率为0.522；病人使用MP后有80%的可能性缓解持续时间不短于9周的结论。但参数的点估计作为问题的答案并不理想，因为点估计也是随机变量，也有一定的散布度，理想结果还是为真实值的参数提供一个可能的范围，以相当大的概率保证真实的参数在这个范围内。因此我们用区间估计方法再次回答具体缓解时间的研究中那三个问题。三个问题重新考虑如下：（1）的95%置信区间；（2）的95%置信下限；（3）的95%置信下限。首先我们计算估计的95%置信区间，最大似然估计有性质：记，则的分布近似为标准正态分布。利用该性质，对于该指数分布有：，解得的95%置信区间为39.853,40.147。进一步注意到和都是的单调增函数，因此得到的95%置信下限就可以导出其他两个。利用的正态性可以得出的95%置信下限为。因此的95%置信下限为0.52，的95%置信下限为8.90.综上：（1）的95%置信区间为39.853,40.147；（2）的95%置信下限为0.52；（3）的95%置信下限为8.90.七数学建模的学习感想(汉字字数不少于300，在期末报告中的分值不少于20%)“天空没有留下翅膀的痕迹，而我已飞过”Blablabla参考文献1 同济大学数学教研室主编. 高等数学(上册)M. 北京: 高等教育出版社, 2002. 205.2 路见可. 关于微分中值定理的思考J. 高等数学研究, 2002, 5(3). 63.3 华庆一. 用户界面模型与形式规格说明研究J. 西北大学学报(自然科学版), 1997, 27(5): 369-374.4 HEWITT E, STROMBERG K. Real and Abstract AnalysisM. New York: Springer-Verlag, 1978.10-23.English Title of Your PaperName (Department, major, student ID)Abstract: Input the abstract of your paper here, using about 300 words. The abstract must be independent and self-evident. It should inc