向量及其线性组合.ppt

第二节 向量与向量组 的线性组合 二、向量组的线性组合二、向量组的线性组合 一、向量及其线性运算一、向量及其线性运算 三、小结、思考题三、小结、思考题 一、向量及其线性运算 n维向量 : 称为列向量 定义3.1 1.向量的定义 写成一列的 n 维向量, 称为列向量, 也就是列矩阵, 通常用a, b, , 等表示, 如: 例例 若 则1, 2, 3, 4都是列向量. 若则1T, 2T 都是行向量. 1. 行向量和列向量总被看作是不同的向量; 2. 行向量和列向量都按照矩阵运算法则进行运算; 3. 当没有明确说明是行向量还是列向量时, 都当作 列向量. 注： 写成一行的 n 维向量, 称为行向量, 也就是行矩阵 ,通常用aT, bT, T, T 等表示. 如， 零向量： 注：维数不同的零向量是不相同的。 负向量： 向量相等： 2.向量的线性运算 定义3.2 即 （1）向量的加法 （2）向量的数乘 定义3.3 减法 向量的线性运算 向量加法及向量数乘两种运算，统 称为向量的线性运算. 3. n维向量空间 定义3.4所有维实向量的集合记为，即 ，我们称 它是指在是n维向量空间， 运算，并且 中定义了加法及数乘 并且这两种运算满足一下8条规律： 4. 向量组 若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组 成的集合叫做向量组. 例例 由 构成的向量组1, 2, 3, 4为列向量组. 由 构成的向量组1T, 2T为行向量组. （1）任何一个含有有限个向量的向量组，都可以构成 一个矩阵. n个m维列向量所组成的列向量组 构成一个 mn 矩阵 说明： m个n维行向量所组成的向量组1T, 2T, mT 构 成一个mn矩阵 （2）任何一个矩阵都可以构成一个向量组. 例例一个mn矩阵A 其全体列向量构成一个含有n个m维列向量的向量组 称其为矩阵A的列向量组. 其全体行向量构成一个含有 m个n维行向量的向量组 称其为矩阵A的行向量组. （3）线性方程组的向量表示. 因此线性方程组的矩阵形式 利用矩阵乘法，上述方程组可表示为 利用分块矩阵及其乘法，得 将上述矩阵进行相应分块， 以后要熟悉线性方程组的这两种表示形式： 从而得到线性方程组的向量表示为 矩阵表示 向量表示 设某市有三家肯得基店，各店出售的汉堡 、炸薯条、可乐的价格为10、5、2.5（元），且各 店一天的销售量分别如下表，计算各店一天的总 销售额（元）。 例例 二、向量组的线性组合 定义3.5 给定向量组A: a1, a2, , am和向量b, 如果 存在一组数1, 2, ,m, 使 b = 1a1 + 2a2 + + mam 则称向量b是向量组A的线性组合, 这时称向量b能由向 量组A线性表示. 由定义可知： 若向量b能由向量组A线性表示，则 即线性方程组 有解 定理3.3 向量b能由向量组A: a1, a2, , am线性表示 矩阵A=(a1, a2, , am)的秩等于矩阵B=(a1, a2, , am, b)的秩. 注：判定b是否能由 a1, a2, , am线性表示的方法： 对B进行初等行变换，使其化成行阶梯形矩阵，若 R(A)=R(B)，则b可以由a1, a2, , am线性表示，继续对B 进行初等行变换使其化成行最简形，得到方程组Ax=b 的解x=(1,2, ,m)T,则b用a1, a2, , am的表示式为 R(a1, a2, , am) =R(a1, a2, , am, b).反之亦然. 验证例例1 1 解法一解法一则 利用矩阵的初等变换方法，求解线性方程组 解法二 例例2 2 证明证明 即 例例3 3 解解 例例4 4 解解 例例5 5 解解 设例例6 6 证明证明 证明向量b能由向量组a1, a2, a3线性表示，并求出表示式。 得表示式 说明： 此题中b用A线性表示的表示式不唯一. 问：什么情况下表示式唯一？ 下节给出结论. 若向量组B中每一向量都能由向量组A线性表示，即 设有向量组及 则称向量组B能由向量组A线性表示. 定义 向量组 A 能由向量组 B 线性表示 向量组 A 和 B 等价 向量组 B 能由向量组 A 线性表示 定义3.6 向量组等价的性质2.对称性 1.自反性 3.传递性 如何判定一个向量组能否被另一个向量组表示？ 如何判定两个向量组等价？ 向量的表示方法：行向量与列向量 维向量的概念及运算 三、小结 3一个向量可由向量组线性表示的判定 向量b 能由 向量组 A 线性表示 线性方程组 Ax = b 有解 5两个向量组等价 4一个向量组可由另一向量组线性表示 向量组 B 能 由向量组 A 线性表示 矩阵方程 AX = B 有解 向量组 A 与 向量组 B等价 有关 n维向量空间 叫做 维向量空间 叫做 维向量空间 中的 维超平面 时， 维向量没有直观的几何形象 确定飞机的状态，需要以下6个 参数： 飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z) 机身的水平转角 机身的仰角 机翼的转角 所以，确定飞机的状态，需用6维向量 维向量的实际意义 向 量 解析几何线性代数 既有大小又有方向的量有次序的实数组成的数组 几何形象： 可随意 平行移动的有向线段 代数形象： 向量的 坐 标 表 示 式 坐标系坐标系 空 间 解析几何线性代数 点空间：点的集合向量空间：向量的集合 坐标系坐标系 代数形象： 向量空 间 中 的 平 面 几何形象： 空间 直线、曲线、空间 平面或曲面 一 一 对 应 向量在生产实践与科学研究中有广泛应用 思考题 若一个本科学生大学阶段共修36门课程,成绩 描述了学生的学业水平