隐函数和由参数方程所确定的函数的导数.ppt

第三节 一、隐函数的导数 二、由参数方程所确定的函数的导数 隐函数和由参数方程所 确定的函数的导数 第二章 一、隐函数的导数 1. 定义 注 1 如： 若由方程可确定 y 是 x 的函数 , 函数 y 为由此方程所确定的隐函数 . 则称 2 确定了一个隐函数：y = y(x) 解出，则称此隐函数可显化； 例1 3 确定了一个隐函数： 但不能显化. y = y(x), x(-, 0 ), 事实上， 总有唯一确定的 y0 ， 例2 问题: 隐函数不易显化或不能显化时如何求其导数? 解 (方法1) (方法2) 另一方面， 一方面， 隐函数求导方法: 两边对 x 求导 ( 含导数 y 的方程 ) 用复合函数求导法则，直接对方程两边求导， 2. 隐函数求导法则 解 解得 求由方程所确定的隐函数 y 的导数 方程两边对 x 求导 , 由原方程知 例3 先在方程两边取对数, 然后利用隐函 数的求导方法求出导数. 3. 隐函数求导法的应用 对数求导法 (1) 方法 不易求导 易求导 (2) 适用范围 按指数函数求导公式按幂函数求导公式 注意: 取对数得 两边求导： 例4 求的导数 . 解 两边对 x 求导 求幂指函数导数 用对数求导法 (方法1)对数求导法 两边取对数 , 化为隐式方程： (方法2) 复合函数求导法 注 ? ? 例5 解 例6 两边对 x 求导： 二、由参数方程所确定的函数的导数 例如， 消去参数 问题: 消去参数困难或无法消去参数时，如何 求函数的导数? 结论 (由参数方程所确定的函数的求导公式) 则由参数方程所 单调且连续的反函数且能构成复合 确定的函数可导， 函数： 且 定点的轨迹称为摆线 , 一个半径为a的圆在定直线上滚动时,圆周上任一 所确定的函数 y = y (x) 的导数 解 例7 计算由摆线的参数方程: 摆线简介： 即 半径为 a 的圆周沿直线无滑动地滚动时 , M 的轨迹即为摆线 . 其上定点 解 例8 先写出曲线的参数方程： 例9 解 , 求 设 方程组两边同时对 t 求导, 得 内容小结 直接对方程两边求导 2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除,乘方,开方表示的函数 3. 由参数方程所 确定的函数求导法 用极坐标方程给 出的函数求导 转化 1. 隐函数求导法则 思考题 求 提示: 分别用对数求导法求 答案: 备用题 例3-1 解 例3-2 求椭圆在点处的切线方程. 解 椭圆方程两边对 x 求导 故切线方程为 即 例3-3 在 x = 0 处的导数 解 方程两边对 x 求导 得 由原方程得 x = 0 时 y = 0 , 故 确定的例3-3 求由方程 隐函数 求其反函数的导数 . 解 (方法1) (方法2) 等式两边同时对 求导 例3-4 设 例4-1 解 设 解等式两边取对数得 求例6-1 解 例7-1 例7-2 抛射体运动轨迹的参数方程为 求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向. 解 先求速度大小: 速度的水平分量为铅直分量为 故抛射体速度大小 再求速度方向 (即轨迹的切线方向): 设 为切线倾角,则 在刚射出 (即 t = 0 )时,