学案3不等式选讲.ppt

学案学案3 3 不等式选讲不等式选讲 不等式 选讲选讲 (1)理解绝对值绝对值 的几何意义义,并了解下列不等式 成立的几何意义义及取等号的条件: |a+b|a|+|b|(a,bR). |a-b|a-c|+|c-b|(a,bR). (2)会利用绝对值绝对值 的几何意义义求解以下类类型的 不等式: |ax+b|c;|ax+b|c;|x-c|+|x-b|a. (3)通过过一些简单问题简单问题 了解证证明不等式的基本 方法:比较较法、综综合法、分析法. 1.以选择题的形式考查绝对值不等式,同时与不等式 的性质相结合. 2.以考查绝对值不等式的解法为主,兼顾考查集合的 交、并、补运算. 3.与函数、数列等知识综合考查不等式的证明方法. 1.绝对值不等式的性质在求最值时有其独特的作用,特 别要注意等号成立的条件. |a+b|=|a|+|b| ; |a-b|=|a|+|b| . ab0 ab0 2.|ax+b|c ; |ax+b|c ; 解|x-c|+|x-b|a采用方法 . 3.证明不等式的常用方法 (1)比较法:分 比较法和 两种. 一般对于多项式类和分式类的用作差比较法,对于含有 幂指数类的用作商比较法. (2)综合法:利用已知条件和公式、定理等直接推导 所要证明的不等式.其过程是“ ”.常用到以下 不等:a20,(ab)20,a2+b22ab(a,bR), (a,bR+). ax+b-c或ax+bc -cax+bc 零点划分法 作差 作商比较法 由因导果 (3)分析法:从求证的不等式出发,分析使这个不等式 成立的条件,把证明不等式转化为判定这些条件是否具备 的问题.这是一种“ ”的方法. (4)放缩法:依据不等式的传递性,具有一定的技巧性. 常用的放缩法有:加项或减项、利用比例的性质、利用均 值不等式、利用函数单调性，一定要把握好“ ”，使 其恰到好处. (5)换元法:注意新元的取值范围,保证等价性. (6)含有“至多”“至少”“唯一”“不大于”“不小于”等词 语的，考虑用反证法. 执果索因 度 考点考点1 |ax+b|c(c)1 |ax+b|c(c)型不等式的解法型不等式的解法 解不等式: (1) |2x-5|8; (2) |2-3x|7. 【分析分析】利用绝对值的意义,将绝对符号去掉. 【解析解析】 (1)由原不等式得 -82x-58. - x . 原不等式的解集为x|- x . (2)由原不等式得 3x-27或3x-23或x3或x-3. -3b时，ambm,anbn;当abn,ambm. 求证:x2+53x. 证明证明:(x2+5)-3x=x2-3x+5=x- + 0, x2+53x. 考点考点4 4 不等式的证明不等式的证明综合法、分析法综合法、分析法 若a,b,c均为正数，求证： . 【分析分析】证明时可用分析法，也可用综合法. 【证明证明】证法一:欲证 只要证 只要证 只要证(a+b+c) . (a+b+c) = (b+c)+(a+c)+(a+b) = ,故原不等式成立. 证法二证法二： = = (a+b+c) -3 = (b+c)+(a+c)+(a+b) -3 -3= , . (1)本题证法一联合使用了综合法与分析法，实际 上是以分析法为主，借助综合法，使证明的问题明朗 化，此种方法称为分析综合法.分析综合法的实质是既 充分利用已知条件，又时刻不忘解题目标，即不仅要 搞清已知是什么，还要搞清干什么，瞻前顾后，便于 找到解题途径. (2)本题证法二 是综合法,运用分析法易于找到思路, 但书写较繁,所以常常用分析法探索证明途径,用综合法 书写证明过程. 已知a,b,c均为正数,证明: a2+b2+c2+（ ）26 ,并确定a,b,c为何值 时，等号成立. 【证明】证法一:因为a,b,c均为正数,由均值不等式得 a2+b2+c23(abc) , 3(abc) , 所以 9(abc) . 故a2+b2+c2+ 3(abc) +9(abc) . 又3(abc) +9(abc) 2 =6 , 所以原不等式成立. 当且仅当a=b=c时,式和式等号成立. 当且仅当3(abc) =9(abc) 时,式等号成立. 故当且仅当a=b=c=3 时,原不等式等号成立. 证法二:因为a,b,c均为正数,由基本不等式得 a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ac. 所以a2+b2+c2ab+bc+ac. 同理 故 所以原不等式成立. 当且仅当a=b=c时,式和式等号成立，当且仅当 a=b=c,(ab)2=(bc)2=(ac)2=3时，式等号成立. 故当且仅当a=b=c=3 时，原不等式等号成立. 考点考点5 5 不等式的证明不等式的证明放缩法放缩法 【证明证明】 , c,求证: . 证明证明:a+bc, a+b-c0.由真分数的性质，可得 考点考点6 6 不等式的证明不等式的证明反证法反证法 已知函数f(x)=ax+ (a1). (1)证明:函数f(x)在(-1,+)上为增函数; (2)证明:方程f(x)=0没有负根. 【分析分析】 (1)利用单调性的定义;(2)用反证法. 【证明证明】 (1)证法一:任取x1,x2(-1,+), 不妨设x10, 1且 0, - = ( -1)0. 又x1+10,x2+10, 于是f(x2)-f(x1)= - + 0. 故函数f(x)在(-1,+)上为增函数. 证法二证法二:f(x)=ax+1- (a1). 求导得f(x)=axlna+ . a1,当x-1时,axlna0, 0, f(x)0在(-1,+)上恒成立, f(x)在(-1,+)上为增函数. (2)设存在x01, 0, f(x0)1与f(x0)=0矛盾,故方程f(x)=0没有负根. (1)用反证法证明命题“若p则q”时，可能会 出现以下三种情况： 导出非p为真,即与原命题的条件矛盾; 导出q为真,即与假设“非q为真”矛盾； 导出一个恒假命题. (2)适宜用反证法证明的数学命题: 结论本身是以否定形式出现的一类命题; 关于唯一性、存在性的命题； 结论以“至多”“至少”等形式出现的命题； 结论的反面比原结论更具体更容易研究的命题. (3)使用反证法证明问题时,准确地作出反设 (即否定 结论)是正确运用反证法的前提,常见的“结论词”与“反设 词”列表如下： 原结论词原结论词反设词反设词原结论词原结论词反设词反设词 至少有一个至少有一个一个也没有对所有x成立存在某个x不成立 至多有一个至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x成立 至少有至少有n n个个至多有n-1个p或 qp且 q 至多有至多有n n个个至少有n+1个p且 q p或 q 若a,b,c,x,y,z均为实数,且a=x2-2y+ ,b=y2-2z+ ,c=z2- 2x+ ,求证:a,b,c中至少有一个大于0. 证明证明:假设a,b,c都不大于0, 即a0,b0,c0.a+b+c0. 而a+b+c=(x2-2y+ )+(y2-2z+ )+(z2-2x+ ) =(x2-2x)+(y2-2y)+(z2-2z)+ =(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+-3， a+b+c0,这与a+b+c0矛盾. 故a,b,c中至少有一个大于0. 1.搞清几种绝对值不等式的解法及证明. 2.利用不等式求函数极值. 1.1.解含绝对值的不等式解含绝对值的不等式, ,要根据绝对值的意义要根据绝对值的意义, ,去掉绝去掉绝 对值符号对值符号, ,转化为不含绝对值符号的不等式转化为不含绝对值符号的不等式( (或不等式组或不等式组) ) 求解求解. .对含两个以上绝对值符号的不等式常用区间讨论法对含两个以上绝对值符号的不等式常用区间讨论法 . . 2. 2.在掌握不等式的证明方法时应注意以下几个问题在掌握不等式的证明方法时应注意以下几个问题: : (1) (1)比较法证题通常是进行因式分解或进行配方比较法证题通常是进行因式分解或进行配方, ,利用利用 非负数的性质来进行判断非负数的性质来进行判断. . (2) (2)综合法和分析法证明时应注意证明的思路和方向综合法和分析法证明时应注意证明的思路和方向 上的差别上的差别, ,一个是一个是“ “执因索果执因索果” ”，而另一个则是，而另一个则是“ “执果求因执果求因 ” ”. . (3)(3)放缩法的要求较高放缩法的要求较高, ,要想用好它要想用好它, ,必须有目标必须有目标, ,目标目标 可以从要证的结论中考查可以从要证的结论中考查. . (4) (4)对于不等式的证明还