向量的概念及运算.ppt

高校理科通识教育平台数学课程 微积分学(二) 多元微积分学 空间解析几何 授课教师 孙学峰 向量代数与 空间解析几何 向量的概念与运算向量的概念与运算. .空间直角坐标系空间直角坐标系 向量的数量积向量的数量积、向量积向量积、混合积混合积 空间平面及其方程空间平面及其方程 空间直线及其方程空间直线及其方程 空间曲面及其方程空间曲面及其方程 1 向量的概念及向量的表示 一、向量的基本概念 1. 向量: 既有大小, 又有方向的量, 称为向量.(或矢量) 2. 向量的几何表示法: 用一条有方向的线段来表示向量. 以线段的长度表示向量的大小, 有向线段的方向表示向量的方向.A B 以A为起点, B为终点的向量, 记为AB, , a . 向量AB的大小叫做向量的模. 记为 |AB| 或 ( 一 ) 向量的概念 3. 自由向量 自由向量: 只有大小、方向, 而无特定起点的向 量. 具有在空间中可以任意平移的性质. 大小相等且方向相同, 特别: 模为1的向量称为单位向量. 模为0的向量称为零向量.它的方向可以看作是任意的. 1. 向量加法. (1) 平行四边形法则 设有 (若起点不重合, 可平移至重合). 作以 为 邻边的平行四边形, 对角线 向量, 称为 的和, 记作 (2) 三角形法则 将 之一平行移动,使 的起点与 的终点重合, 则由 的起点到 的终点所引的向量 为 ( 二 ) 向量的加减法 2. 向量加法的运算规律 . (1) 交换律: (2) 结合律: 例如: 3. 向量减法. (1) 负向量: 与 模相同而方向相反的向量, 称为 的负向量.记作 (2) 向量减法. 规定: 平行四边形法则. 将 之一平移, 使起 点重合, 作以 为邻边 的平行四边形, 对角线向量, 为 三角形法则. 将 之一平移, 使 起点重合, 由 的终点向 的终点作一向量, 即为 1. 定义实数与向量 的 为一个向量. 其中: 当 0时, 当 0) ( 三) 数与向量的乘法 结论: 设 表示与非零向量 同向的单位向量. 则 或 定理1 : 两个非零向量 平行 存在唯一实数，使得 (方向相同或相反) 例1 : 在平行四边形ABCD中, 设AB= , AD = 试用 表示向量MA, MB, MC 和MD. 其中, M是平行四边形对角线的交点. 解:= AC = 2MC 有MC = 又 = BD = 2MD 有MD = MB = MD MA = MC D AB C M 1. 点在轴上投影 设有空间一点A及轴u, 过A作u轴的垂直平面,平 面与u轴的交点A叫做点 A在轴u上的投影. A A u ( 四 ) 向量在轴上的投影 2. 向量在轴上的投影. 设有向线段AB的起点A和终点B在轴u 上的投影分别为点A 和B . 定义 B B A A u 向量AB在轴u上的投影向量或射影向量. 称有向线段A B 为 如果向量e为与轴u 的正方向的单位向量， 则称 x 为向量 AB 在轴u上的投影，记作 即 则向量 AB 的投影向量 AB 有： B B A A u e 显然 ；| | | 当 与u轴同向时， 当 与u轴反向时， 3. 两向量的夹角 设有非零向量(起点同). 规定： 正向间位于0到之间的那个夹角为 的夹角, 记为 或 (1) 若 同向，则 (2) 若 反向，则 (3) 若 不平行，则 4. 向量的投影性质. 定理 2. (投影定理) 设向量AB与轴u的夹角为 则 PrjuAB = | AB |cos B B A A u B1 定理3 两个向量的和在轴u上的投影等于两个向量在 该轴上的投影的和。 推论: B B A A u C C 即 即 定理4: 实数与向量 的乘积在轴u上的投影 ，等于乘以向量 在该轴上的投影 。 二. 空间直角坐标系与空间向量的坐标表示 1. 空间直角坐标系的建立 o z x y z x y x轴(横轴)、 y轴(纵轴)、z轴(竖轴)组成了一个 空间直角坐标系, 又称笛卡尔(Descarstes)坐标系， 点O叫做坐标原点. o (一) 空间直角坐标系 2. 坐标面. 由三条坐标轴的任意两条确定的平面, 称为 坐标面, 分别叫x y面. y z面、z x面, 它们将空间分 成八个卦限.z IV VI V VII 0 x y VIII II III I 1. 点在空间直角坐标系中的坐标表示. R Q P (x, y, z) 记: 点M为M (x, y, z) O x y z M x y z (二) 空间向量的表示 (1) 若点M在yz面上, 则 x = 0; 在zx面上, 则 y = 0; 在xy面上, 则 z = 0. (2) 若点M在 x 轴上, 则 y = z = 0 在 y 轴上, 则 x = z = 0 在 z 轴上, 则 x = y = 0 特别: 2. 空间向量的坐标表示 (1). 起点在原点的向量OM 设点 M (x, y, z) 以 i, j, k 分别表示沿 x, y, z 轴正向的单位向量, 称为基本单 位向量. OM = OA + AN +NM = OA + OB + OC = xi + yj + zk x, y, z,分别是OM 在三坐标轴上的投影, 称为OM 的坐标. z i j k M o x y C A B z y x N 简记为 OM =x, y, z称为向量OM的坐标表示式. z i j k M o x y C A B z y x N 由于： 从而： (1) (2). 起点不在原点O的任一向量 a = M1M2 设点 M1 (x1, y1 , z1), M2 (x2, y2 , z2) a = M1M2 = OM2 OM1 = (x2 i+ y2 j + z2 k) (x1 i + y1 j + z1 k) = (x2 x1) i + (y2 y1) j + (z2 z1) k 即 a = x2 x1 , y2 y1 , z2 z1为向量a的坐标表示式 记 ax = x2 x1 , ay = y2 y1 , az = z2 z1 分别为向量 a 在三个坐标轴上的投影, 称为a的坐标. z x y M1 M2 a o 由此得两点间距离公式 ： (3). 运算性质 设 a =ax , ay , az, b =bx , by , bz, 且为常数 a b = ax bx , ay by , az bz a = ax , ay , az 证明: a + b = (ax i + ay j+ az k) +(bxi + by j+ bz k) = (ax i + bxi ) +(ay j+ by j) + (az k + bz k) = (ax + bx) i + (ay+ by) j + (az+ bz ) k a + b = ax + bx , ay + by , az + bz (4) 两向量平行的充要条件. 设非零向量 a =ax , ay , az, b =bx , by , bz, 即ax =bx, ay =by, az =bz, 于是 注: 在(*) 式中, 规定若某个分母为零相应 的分子也为零. a / b (*) a / b a = b则(为常数) 例如：4, 0, 6 / 2, 0, 3 1. 方向角: 非零向量a 与x, y, z 轴正 向夹角, , 称为a 的方向角. 2. 方向余弦: 方向角的余弦 cos, cos, cos 称为方向余弦. 3. 向量的模与方向余弦的坐标表达式 故有 ax =| a | cos ay =| a | cos az =| a | cos a y z x 0 设a =ax, ay, az, (三) 向量的模与方向余弦的坐标表示式 又： (4) (5) 由(5)式可得 cos2 +cos2 +cos2 = 1(6) 设ao是与a同向的单位向量 ao = (cos , cos , cos )(7) 例2. 已知两点M1(2, 2, )和M2(1, 3, 0). 计算向量M1 M2的模, 方向余弦和方向角. 解: M1 M2 = 1, 1, |M1 M2 | = 例3: 在z轴上求与两点 A(4, 1, 7) 和B(3, 5