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数学分析 第六章 不定积分 第一节 不定积分的概念和运算法则 一、原函数与不定积分的概念 二、基本积分表 三、不定积分的性质 四、不定积分存在的条件 重点：不定积分的定义 数学分析 问题的引出： 2(几何问题) 设曲线通过点（1，2），且其上任一点 处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程. 1、回忆关于中值定理的使用 证法 3(物理问题) 质点以初速 v0 铅直上抛,不计阻力,求运 动规律. 总结问题： 数学分析 认识 运算的属性; 运算的条件; 运算的方法; 针对初等函数,与求导（微分）运算的比 较. -求导（微分）运算的逆运算 数学分析 例 定义： 一、原函数与不定积分的概念 数学分析 原函数存在定理： 简言之：连续函数一定有原函数. 问题：(1) 原函数是否唯一？ 例 (2) 若不唯一它们之间有什么联系？ C 为任意常数 数学分析 关于原函数的说明： (1) 若 ，则对于任意常数 ， 则 证 C 为任意常数 C 为任意常数 (2) 若 F(x) 和 G(x) 都是 f(x) 的原函数， 数学分析 任意常数 积分号 被积函数 不定积分的定义： 被积表达式 积分变量 数学分析 例1 求 解 解 例2 求 数学分析 例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程. 解设曲线方程为 根据题意知 由曲线通过点（1，2） 所求曲线方程为 数学分析 显然，求不定积分得到一积分曲线族. 由不定积分的定义，可知 结论： 微分运算与求不定积分的运算是互逆互逆的. 数学分析 实例 启示能否根据求导公式得出积分公式？ 结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因 此可以根据求导公式得出积分公式. 二、 基本积分表 数学分析 基 本 积 分 表 (1) 是常数); 说明： 数学分析 数学分析 数学分析 例4 求积分 解 根据积分公式（2） 数学分析 证 等式成立. （此性质可推广到有限多个函数之和的情况） 三、 不定积分的性质 数学分析 例5 求积分 解 数学分析 例6 求积分 解 数学分析 例7 求积分 解 说明： 以上几例中的被积函数都需要进行 恒等变形，才能使用基本积分表. 数学分析 解 所求曲线方程为 例8 数学分析 例9 求积分 解 数学分析 数学分析 原函数存在定理： 简言之：连续函数一定有原函数. 四、不定积分存在的条件 数学分析 u基本积分表(1) u不定积分的性质 u 原函数的概念： u不定积分的概念： 小结 u不定积分存在条件（充分条件） 数学分析 思考题 符号函数 在 内是否存在原函数？为什么？ 数学分析 思考题解答
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