CH101二重积分的概念与性质.ppt

第一节 二重积分的概念与性质 一、问题的提出 二、二重积分的概念 三、二重积分的性质 四、小结 思考题 柱体体积=底面积 高 特点：平顶. 柱体体积=？ 特点：曲顶. 一、问题的提出 曲顶柱体的体积 设一立体的底是 xOy面上的闭区域D 它 的侧面是以D的边界曲 线为准线而母线平行于z 轴的柱面 它的顶是曲面 zf(x y) 这里f(x y)0且 在D上连续 这种立体叫 做曲顶柱体 解法: 类似定积分解决问题的思想: 给定曲顶柱体: 底： xOy 面上的闭区域 D 顶: 连续曲面 侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面 求其体积. “大化小, 常代变, 近似和, 求 极限” 曲顶柱体的体积 1)“大化小” 用任意曲线网分D为 n 个区域 以它们为底把曲顶柱体分为 n 个 2)“常代变” 在每个 3)“近似和” 则中任取一点 小曲顶柱体 4)“取极限” 令 步骤如下： 用小平顶柱体的体积近似 代替小曲顶柱体的体积Vk Vk f(k k)k 用小平顶柱体的体积之和 近似代替整个曲顶柱体体 积 将分割加细 取极限 求得 曲顶柱体体积的精确值 用曲线网把D分成小区域 1 2 n “大化小, 常代变, 近似和,取极限” 播放 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、 取极限”的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、 取极限”的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、 取极限”的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、 取极限”的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、 取极限”的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、 取极限”的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、 取极限”的方法，如下动画演示 有一个平面薄片, 在 xOy 平面上占有区域 D , 计算该薄片的质量 M . 度为 设D 的面积为 , 则 若非常数 , 仍可用 其面密 “大化小, 常代变,近似和, 求极限” 解决. 1)“大化小” 用任意曲线网分D 为 n 个小区域 相应把薄片也分为小块 . 求平面薄片的质量 2)“常代变” 中任取一点 3)“近似和” 4)“取极限” 则第 k 小块的质量 两个问题的共性： (1) 解决问题的步骤相同 (2) 所求量的结构式相同 “大化小, 常代变, 近似和,取极限” 曲顶柱体体积: 平面薄片的质量: 二、二重积分的概念 积分区域积分区域 积分和积分和 被积函数被积函数 积分变量积分变量 被积表达式被积表达式 面积元素面积元素 积分号 v二重积分的定义 积分中各部分的名称 f(x y) 被积函数 f(x y)d 被积表达式 d 面积元素 x y 积分变量 D 积分区域 积分和 iii n i f ),( 1 对二重积分定义的说明： 二重积分的几何意义 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积 当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的 负值 在直角坐标系下用平行于 坐标轴的直线网来划分区域D， 故二重积分可写为 D D 则面积元素为 引例1中曲顶柱体体积: 引例2中平面薄板的质量: 二重积分存在定理: 若函数 定理2. (证明略) 定理1. 在D上可积. 限个点或有限条光滑曲线外都连续 , 积. 在有界闭区域 D上连续, 则 若有界函数在有界闭区域 D 上除去有 例如, 在 D : 上二重积分存在 ; 在D 上 二重积分不存在 . 性质 当K为常数时，被积函数中的常数因子 可以提到积分号前面，即 性质 （二重积分与定积分有类似的性质） 三、二重积分的性质 性质3 (对积分区域的可加性) 如果闭区域D被有限条曲线分 为有限个部分闭区域, 则D上的 二重积分等于各部分闭区域上 二重积分的和. 例如D可分为两 个闭区域D和D，则 性质 若 为D的面积， 性质 若在D上 特殊地 则有 性质 （二重积分估值不等式） 性质 （二重积分中值定理） 证: 由性质6 可知, 由连续函数介值定理, 至少有一点 使 因此 例1 比较下列积分的大小： 1） 与 其中D: 0 y x (3,0) (1,0) (0,1) . D 解：在区域 D内，显然有 故在D内 解 例3 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 y 1, 则 的大小顺序为 ( ) 提示: 因 0 y 1, 故 故在D上有 解 区域D的面积 x 解 练习 估计下列积分之值 解: D 的面积为 由于 积分性质6 即: 1.96 I 2 D 例6 判断的正负. 解：当时， 故 又当时， 于是 二重积分的定义 二重积分的性质 二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积） （和式的极限） 四、小结 思考题1 将二重积分定义与定积分定义进行比较， 找出它们的相同之处与不同之处. 定积分与二重积分都表示某个和式的极限 值，且此值只与被积函数及积分区域有关不 同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为 定义在区间上的一元函数，而二