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第2章 一元函数微分学及其应用 第1节 导数的概念 第2节 求导基本法则 第3节 微分 第4节 微分中值定理及其应用 第5节 Taylor定理及其应用 第6节 函数性态的研究 2008年11月12日1 南京航空航天大学 理学院 数学系 第4节 微分中值定理及其应用 1. 函数的极值 2. Fermat定理 3. Rolle定理 4. Lagrange定理 5. Cauchy定理 2008年11月12日2 南京航空航天大学 理学院 数学系 定义1 类似定义极小值, 极小值点. 极值和最值的区别 (1)极值为局部性质,最值为整体性质 ; 1 函数的极值 2008年11月12日3 南京航空航天大学 理学院 数学系 2.Fermat定理(费马) Fermat定理的几何意义 2008年11月12日4 南京航空航天大学 理学院 数学系 注意： 1 . Fermat定理的逆不一定成立。 例如, 2008年11月12日5 南京航空航天大学 理学院 数学系 3. 罗尔(Rolle)中值定理 2008年11月12日6 南京航空航天大学 理学院 数学系 证明 2008年11月12日7 南京航空航天大学 理学院 数学系 几何解释: 2008年11月12日8 南京航空航天大学 理学院 数学系 注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其 结论可能不成立. 例如, 2008年11月12日9 南京航空航天大学 理学院 数学系 例1 证明 2008年11月12日10 南京航空航天大学 理学院 数学系 例2 证明 思路：构造辅助函数 2008年11月12日11 南京航空航天大学 理学院 数学系 例3 分析： 证明 2008年11月12日12 南京航空航天大学 理学院 数学系 EX. 思路：构造辅助函数 2008年11月12日13 南京航空航天大学 理学院 数学系 4 拉格朗日(Lagrange)中值定理 2008年11月12日14 南京航空航天大学 理学院 数学系 几何解释: 2008年11月12日15 南京航空航天大学 理学院 数学系 分析 弦AB方程为 2008年11月12日16 南京航空航天大学 理学院 数学系 证明 (几何角度) 2008年11月12日17 南京航空航天大学 理学院 数学系 满足罗尔中值定理 证明 (代数角度) 2008年11月12日18 南京航空航天大学 理学院 数学系 注1.罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形. 注2: Lagrange中值定理的几种形式 2008年11月12日19 南京航空航天大学 理学院 数学系 推论1 证明 推论2 2008年11月12日20 南京航空航天大学 理学院 数学系 推论3 (导数极限定理) 应用：利用导函数的极限来求区间端点或分段点的左右导数！ 2008年11月12日21 南京航空航天大学 理学院 数学系 例4 证 2008年11月12日22 南京航空航天大学 理学院 数学系 例5 (证明不等式 ) 证 由上式得 2008年11月12日23 南京航空航天大学 理学院 数学系 例6 证明 推论 2008年11月12日24 南京航空航天大学 理学院 数学系 5 柯西中值定理 2008年11月12日25 南京航空航天大学 理学院 数学系 几何解释: 证 (几何角度) 作辅助函数 2008年11月12日26 南京航空航天大学 理学院 数学系 特别, Lagrange中值公式 2008年11月12日27 南京航空航天大学 理学院 数学系 证 (代数角度) 2008年11月12日28 南京航空航天大学 理学院 数学系 例7 分析：结论可变形为 2008年11月12日29 南京航空航天大学 理学院 数学系 小结 Rolle 定理 Lagrange 中值定理 Cauchy 中值定理 罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理 之间的关系； 注意定理成立的条件； 注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤. 2008年11月12日30 南京航空航天大学 理学院 数学系 1 证 由介值定理 即为方程的小于1的正实根. 矛盾, 2008年11月12日31 南京航空航天大学 理学院 数学系 2 设f(x)在a, b上可微，且ab0，求证： (ab) 证明 令 a, b同号，故x=0不在(a, b)内; (x),g(x)在(a, b)内可微。 由柯西中值定理 2008年11月12日32 南京航空航天大学 理学院 数学系 2008年11月12日33 南京航空航天大学 理学院 数学系 第4节 微分中值定理及其应用 1. 函数的极值 2. Fermat定理 3. Rolle定理 4. Lagrange定理 5. Cauchy定理 6 L Hospital法则 2008年11月12日34 南京航空航天大学 理学院 数学系 微分中值定理 函数的性态 导数的性态 函数之商的极限 导数之商的极限 转化 ( 或 型) 本节研究: 洛必达法则 洛必达(1661 1704) 2008年11月12日35 南京航空航天大学 理学院 数学系 6 洛必达（L Hospital）法则 2008年11月12日36 南京航空航天大学 理学院 数学系 定义 例如, 2008年11月12日37 南京航空航天大学 理学院 数学系 (或为 ) 定理 4. 5 定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. 之一, 条件 2) 作相应的修改 , 定理 4.5 仍然成立. 2008年11月12日38 南京航空航天大学 理学院 数学系 证定义辅助函数 则有 2008年11月12日39 南京航空航天大学 理学院 数学系 (或为 ) 定理 4. 6 (洛必达法则) 2008年11月12日40 南京航空航天大学 理学院 数学系 1)的情形 从而 2008年11月12日41 南京航空航天大学 理学院 数学系 2) 的情形. 取常数 可用 1) 中结论 2008年11月12日42 南京航空航天大学 理学院 数学系 例1. 2008年11月12日43 南京航空航天大学 理学院 数学系 注意 : 各种方法综合使用(提出常数因子, 等价代换,变量替换) 可多次连续使用 例2. 2008年11月12日44 南京航空航天大学 理学院 数学系 例3 解 2008年11月12日45 南京航空航天大学 理学院 数学系 注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法， 但与其它求极限方法结合使用，效果更好. 例4 解 特别是等价 无穷小替换 2008年11月12日46 南京航空航天大学 理学院 数学系 关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决 的类型！ 通分 转化 取倒数 转化 取对数 转化 2008年11月12日47 南京航空航天大学 理学院 数学系 例5 解 步骤: 2008年11月12日48 南京航空航天大学 理学院 数学系 例6 解 步骤: 2008年11月12日49 南京航空航天大学 理学院 数学系 步骤: 2008年11月12日50 南京航空航天大学 理学院 数学系 例7 解 例8 解 2008年11月12日51 南京航空航天大学 理学院 数学系 例9 解 2008年11月12日52 南京航空航天大学 理学院 数学系 再次强调 (3) 及时化简， (4) 多次使用. 2008年11月12日53 南京航空航天大学 理学院 数学系 例10 解 极限不存在 洛必达法则失效。 2008年11月12日54 南京航空航天大学 理学院 数学系 以Heine定理为媒介,计算数列极限 . 例 11. 解： 2008年11月12日55 南京航空航天大学 理学院 数学系 例12 解 2008年11月12日56 南京航空航天大学 理学院 数