ch4-1函数的单调性和极值最值.ppt

第四章 导数的应用 4.1 函数的单调性、极值与最值 函数的单调性 函数的极值 最大值与最小值 方程根的个数 一、函数的单调性 定理1 证应用拉氏定理,得 说明：（1）对无穷区间定理也成立. 且等号在有限点处成立， 则结论也成立，如 （2）若 定理设函数 f (x) 在 a , b上连续 , (a , b)上可导 , 且 , x(a , b) , 则 , xa , b 例1 解 注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用 导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性 二、单调区间求法 问题:如上例1，函数在定义区间上不是单调的 ，但在各个部分区间上单调 定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调 的，则该区间称为函数的单调区间. 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间 的分界点 方法: 例2 解 单调区间为 例3 解 单调区间为 例5 证明：当时， 证明：设 所以当 时，单调递增，又 所以当 时， 即 可以利用函数的单调性证明不等式 三、函数极值的定义 定义 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点. (1) 极值是局部概念，最值是整体概念； (2) 极值点肯定不会是端点； (3) 极小值可能会大于极大值； (4) 区间内的最值点必为极值点。 极大点 极小点 四、函数极值的求法 定理2(必要条件) 定义 注意: 例如, 函数的驻点和导数不存在的点通称为函数的 临界点. 上面的定理也可以叙述为：函数的极值 点必为临界点. 定理2 (必要条件) 定理3(一阶充分条件) (不是极值点情形) 求极值的步骤: 例6 解 列表讨论 极大值 极小值 图形如下 例7 解 定理4(二阶充分条件) 证 同理可证(2). 例8 解 图形如下 注意: 即 是 f (x)的极大值点 处取得极值, 是极大值还是极小值 ? 并求出其极值 例 试问a为何值时, 在 因为 f (x)是可微函数, 故 是 f (x)的驻点 , 当 a = 2 时, 极大值: 解 即 注： 极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小 值,极小值可能大于极大值. 函数的极值必在临界点取得. 判别法 第一充分条件; 第二充分条件; (注意使用条件) 五、最大值和最小值 步骤: 1.求驻点和不可导点; 2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比 较大小,哪个大哪个就是最大值,哪个小哪个就 是最小值; 注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就 是最值.(最大值或最小值) 例9 解 计算 比较得 x =1是 f (x)在(0 , 2) 中的唯一极值点且为极小值点 原不等式 令 , 则由 又 x = 1是 最小值点 f (x) f (1) = 0 , x ( 0 , 2 ) 求 0 0 时， 设 , 考虑 f (x) 性质 驻点 ： x = 2 确定方程 实根的个数例 解 原方程 x-02+ f (x)+-0+ f (x)-a+ (1)当 时,方程有唯一实根在(-, 0)内; (3) 当 时 , 方程有三个实根 , 分别在