D12数列的极限(30).ppt

目录 上页 下页 返回 结束 第一章 二 、收敛数列的性质 三 、极限存在准则 一、数列极限的定义 第二节 数列的极限 目录 上页 下页 返回 结束 1、割圆术 ： “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于 不可割，则与圆周合体而无所失矣” 刘徽 2、截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” 目录 上页 下页 返回 结束 v 引例 割圆术 ： “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” 刘徽 目录 上页 下页 返回 结束 正六边形的面积 正十二边形的面积 正 边形的面积 “用已知逼近未知 , 用近似逼近精确” 无限接近 （圆的真实面积） LLLL 目录 上页 下页 返回 结束 v数列的概念 如果按照某一法则,对每一对应着一个 确定的实数则得到一个序列 这一序列称为数列, 记为第 项叫做数列 的通项（一般项） . 数列举例: 注：数列 可以看作自变量为正整数 的函数 : 目录 上页 下页 返回 结束 v数列的概念 如果按照某一法则,对每一对应着一个 确定的实数则得到一个序列 这一序列称为数列, 记为第 项叫做数列 的一般项. x1x5 x4x3x2xn 数列的几何意义 次位于数轴上的点 数列 可以看作数轴上的一个动点,它依次 目录 上页 下页 返回 结束 v数列的极限 观察数列的变化趋势。 目录 上页 下页 返回 结束 v数列的极限 观察数列的变化趋势。 目录 上页 下页 返回 结束 v数列的极限 观察数列的变化趋势。 目录 上页 下页 返回 结束 v数列的极限 观察数列的变化趋势。 目录 上页 下页 返回 结束 v数列的极限 观察数列的变化趋势。 目录 上页 下页 返回 结束 v数列的极限 观察数列的变化趋势。 目录 上页 下页 返回 结束 v数列的极限 观察数列的变化趋势。 目录 上页 下页 返回 结束 v数列的极限 观察数列的变化趋势。 目录 上页 下页 返回 结束 v数列的极限 观察数列的变化趋势。 目录 上页 下页 返回 结束 v数列的极限 观察数列的变化趋势。 目录 上页 下页 返回 结束 当无限增大时，无限接近于 v数列的极限 观察数列的变化趋势。 目录 上页 下页 返回 结束 例如 v数列极限的通俗定义 问题: 如何用数学语言刻画它？ 当无限增大时， 如果数列的一般项无限 接近于常数则称常数是数列的极限 或者称 记为 趋势不定 收敛于数列 “当 无限增大时，无限接近于 ”是什么 意思？ 目录 上页 下页 返回 结束 分析 当无限增大时， 无限接近于 无限接近于 能任意小 , 要多小就能多小 . 任意给定一个正数(无论多么小)，当足够大时， 总能小于事先给定的那个正数. 当无限增大时， 当无限增大时， 任意给定一个正数(无论多么小)，当足够大时， 总能小于事先给定的那个正数 . 增大时，无限接近于 则当无限 只要足够大，能达到任意小,要多小就能 多小. 目录 上页 下页 返回 结束 只要时， 如上例 给定 给定 任意给定 给定 由只要时，有 有只要时， 只要时，有 有由 目录 上页 下页 返回 结束 v数列极限的精确定义 如果存在常数对于任意给定 总存在正整数使得当 时 总有 成立 则称常数是数列的极限 或者称数列 收敛于记为 极限定义的简记形式 设为一数列 或 当 时 的正数 目录 上页 下页 返回 结束 当 时 v注意： 1. 的任意性： 可以任意性小，用来描述 的接近程度。但一旦给了就确定了 。 2. 的相应性：随着变化而变化，可记作 当 时（变化到一定时刻）， 才能达到上述程度。 3. 极限定义只能验证a是不是数列的极限，但不 能用于计算数列极限。 目录 上页 下页 返回 结束 aa-a+ () v数列极限的几何意义 1.任意给定的有 的 邻域； 2.存在当 时全都落在 3.当 时，一般落在邻域外边 。 内部；邻域 当 时 目录 上页 下页 返回 结束 数列收敛时，其极 限值的大小与其前 面的有限项无关。 改变其有限项的值 不改变其收敛性和 极限值 aa-a+ () v数列极限的几何意义 1.任意给定的有 的 邻域； 2.存在当 时全都落在 3.当 时，一般落在邻域外边 。 内部；邻域 当 时 目录 上页 下页 返回 结束 例如, 趋势不定 收 敛 发 散 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 已知证明数列的极限为1. 证: 欲使即只要 因此 , 取则当时, 就有 故 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 已知证明 证: 欲使只要 即 取 则当时, 就有 故 故也可取 也可由 N 与 有关, 但不唯一. 不一定取最小的 N . 说明: 取 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 设证明等比数列 证: 欲使只要即 亦即 因此 , 取, 则当 n N 时, 就有 故 的极限为0 . 目录 上页 下页 返回 结束 二、收敛数列的性质 证: 用反证法.及且 取因 故存在 N1 , 从而 同理, 因故存在 N2 , 使当 n N2 时, 有 1. 收敛数列的极限唯一. 使当 n N1 时, 假设 从而 矛盾,因此收敛数列的极限必唯一. 则当 n N 时, 故假设不真 ! 满足的不等式 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 证明数列是发散的. 证: 用反证法. 假设数列收敛 , 则有唯一极限 a 存在 . 取则存在 N , 但因交替取值 1 与1 , 内, 而此二数不可能同时落在 长度为 1 的开区间 使当 n N 时, 有 因此该数列发散 . 目录 上页 下页 返回 结束 2. 收敛数列一定有界. 证: 设取则当时, 从而有 取 则有 由此证明收敛数列必有界. 说明: 此性质反过来不一定成立. 例如, 虽有界但不收敛 . 有 数列 目录 上页 下页 返回 结束 3. 收敛数列具有保号性. 若且 同号。并且若 证: 对 a 0 , 取 推论:（保序性）设 恒有 若 恒有，则 目录 上页 下页 返回 结束 4. 收敛数列具有夹逼性. 若 恒有，则 设 证： 由于 所以 恒有 且 从而得 即，故 目录 上页 下页 返回 结束 例5. 证明 证 目录 上页 下页 返回 结束 例6. 计算 解： 目录 上页 下页 返回 结束 则 证： 5.有理运算法则 目录 上页 下页 返回 结束 例7. 求 解：由于 根据有理运算法则得 目录 上页 下页 返回 结束 例8. 求 解: 因为 根据有理运算法则得 目录 上页 下页 返回 结束 例9. 求 解: 因为 所以 目录 上页 下页 返回 结束 三.收敛准则 定理2.5 单调有界数列必有极限 1. 单调增，上有界数列必有极限 2. 单调减，下有界数列必有极限 目录 上页 下页 返回 结束 证明： 不妨设数列为单调增加且有上界，根据确 (1) (2) 界存在定理，由构成的数集必有上确界，满足： 因而于是 注：单调增有上界的数列收敛于其上确界； 单调减有下界的数列收敛于其下确界。 目录 上页 下页 返回 结束 例10. 证: (舍去) 目录 上页 下页 返回 结束 例11 设证明数列 极限存在 . 证: 利用二项式公式 , 有 目录 上页 下页 返回 结束 大 大 正 又 比较可知 大 目录 上页 下页 返回 结束 根据单调有界准则可知数列 记此极限为 e , e 为无理数 , 其值为 即 有极限 . 又 内容小结 目录 上页 下页 返回 结束 * 注. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 . * 数列的子数列（子列） 由此性质可知 , 若数列有两个子数列收敛于不同的极 限 , 例如， 发散 ! 则原数列一定发散 . 目录 上页 下页 返回 结束 * 证: 设数列是数列的任一子数列 . 若则 当 时, 有 现取正整数 K , 使于是当时, 有 从而有 由此证明 * 注. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 . 目录 上页 下页 返回 结束 注. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 . 思考：上面结论反过来是否成立？即 定理2.7 （数列极限的归并原理） 收敛数列必有界，有界数列不必收敛，但有如下结论： 定理2.8（Weierstrass定理-致密性定理） 有界数列必有收敛子列。 目录 上页 下页 返回 结束 定理2.9（Caucy收敛原理） 数列极限存在的充要条件是: 存在正整数 N , 使当时, 证: “必要性”. 设则 时, 有 使当 因此 “充分性” 证明从略 . 有 目录 上页 下页 返回 结束 存在对于恒有 存在对于恒有 定理2.9（Caucy收敛原理）可以简记作 为了应用上的方便，定理常写成另一种等价形式 目录 上页 下页 返回 结束 例12. 设证明数列 证: 要证收敛，只要证明它满足Caucy条件 。 由于 收敛 。 目录 上页 下页 返回 结束 所以， 故原数列满足Cauchy 只要取则 及恒有 条件， 所以收敛。 目录 上页 下页 返回 结束 例13. 设 证明数列 证：要证发散，只要证明它不满足Cauchy条件， 使 也就是说， 只要证明 就行了， 对于取 发散。 由于 故不满足Cauchy条件， 发散 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 1. 数列极限的 “ N ” 定义及应用 2. 收敛数列的性质: 唯一性 ; 有界性 ; 保号性; 任一子数列收敛于同一极限 3. 极限存在准则: 夹逼准则 ; 单调有界准则 ; 柯西准则 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习 1. 如何判断极限不存在? 方法1. 找一个趋于的子数列; 方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列. 2. 已知, 求 时, 下述作法是否正确? 说明理由. 设由递推式两边取极限得 不对!此处 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 P39 7 (1)(3) , 10 (2) , 11 (1)