质点动力学的基本方程.ppt

理论力学（下） 江江 汉汉 大大 学学 机电建工学院机电建工学院 力学教研室力学教研室 石石 晓晓 东东 * 1 10 1 动力学的基本定律 牛顿三大定律 （见P 234 235 ） 1。第一定律和第二定律仅对质点运动或作平 动的刚体有效。 2。第二定律仅在惯性参照系内成立。 3。第三定律不仅适用于惯性系，同时也适用 于非惯性系下物体之间的相互作用关系。 第十章 质点动力学的基本 方程 10 2 质点的运动微分方程 直 角 坐 标 下 自 然 坐 标 下 S(t) M x y z O M (2) 已知力求运动 用 积分法。 1力是时间的函数 直接积分。 2力是常矢量 直接积分。 3力是空间位置（坐标）的函数 作变量替换后 再积分。 10 3 质点动力学两类基本问题 (1) 已知运动求力 用 微分法或代数法。 已知 x = x(t) y = y(t) z = z(t) 或 S = S(t) 4力是其他变量的函数 较难积分。 小球质量为m，悬挂于长为L 的细绳上， 绳重 不计。 小球在铅垂面内摆动。小球在最低处时速度 为vo ， 摆到最高处时小球的速度为零，且绳与铅垂 夹角为o 。 求：1 小球在最低处A 和最高处B 时绳子的拉力 。 2小球在绳子与铅垂成任意夹角 时的速度。 例一 F1 A O B A 解: 1取小球分析: B o B O A 2取运动到任意位置的小球分析 例二(书上P237 238 例10 2 ) 质量为m 的质点带有电荷e , 以速度vo 进入按E = Acoskt 变化的电场中,初 速度方向与场强方向垂直. 已知质点在电场中受力F = e E , 且 A、k 为 常数. 忽略质点的重力. 求 : 质点的运动方程和运动轨迹. 0 x y m 解: 取质点分析其受力 建立坐标如图示 0 x y m 例三. 质量为m 的小球以水平速度vo 射入静水中. 水对小球的阻力F 与小球的速度方向相反, 而大小为F = v , 为阻尼系数. 忽略水对小 球的浮力. 求小球在重力和阻力作用下的运动方程. M O x y M O x y 例四. ( 参见书上例10 3 ) 一圆锥摆. 小球质量m = 0.1kg, 细绳长 l = 0.3m. 小球在水平面内作匀速圆周运动, 此时绳与水平面成 = 60. 求小球的速度及绳子的拉力的大小. 解：取小球为研究对象， 受力及运动分 析如图示 . 建立自然投影坐标 由动力学基本方程 mg A O 60 M 例五. ( 书上例10 4 ) 粉碎机滚筒半径为 R, 绕通过中心的水平轴匀速转动, 筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升. 为了使铁球获得粉碎矿石的能量, 铁 球应在 = 0 时才掉下来. 求滚筒每分钟的转数. 0 0 解: 取位置在0 处的小 球为研究对象 受力及运动情况如图 由题意, 当 = 0 时FN = 0. 由 例六. 滑块B 重G = 9.8( N ) . 通过固结在滑块上的销钉由摇杆OA 带动. 在摇杆与水平线夹角 = 30时, = 2rad/s , = 2rad/s , OB=0.5m . 设摇杆的质量与各处的摩擦不计. 求: 此时, 导槽对滑块的约束力及销钉B与摇杆之间的作用力. O A B 解: 首先对系统进行运动分析. 取销钉为动点, OA 杆为动系. 速度分析. 30 B 加速度分析. B 60 B x y 加速度分析. 即是B 点的加速度 为 3.82 m/s 取滑块B 为研究对象, 分析其运动和受力. O A B x y 30 B 为了求B 点的加速度, 我们还可以用 函数法. O A B 取过滑块的中线与过O 点的水平线的交点为坐 标原点, 建立坐标轴O1y . O1 y B点的运动方程 例七. (习 10 6 ) 图示套管A的质量为m, 受绳子牵引沿铅直杆向上滑动.绳子的另一端绕过滑 轮而缠绕在鼓轮上.当鼓轮转动时, 其边缘上的各点的速度大小为v0 . 求:绳子的拉力与距离x 之间的关系. x B A vo s F A mg ( 关键是需将A块的加速度表成 x 的函数 ) 另解: A s x B vo C 例八. 质量为2kg的滑块在力F作用下沿杆AB运动, 杆在铅直平面内绕A点转动. 已知S = 0.4t , = 0.5t (s的单位为米, 的单位为弧度, t 的单位为秒 ) , 滑块与杆AB 的摩擦系数为0.1 . 求: t = 2 时力F 的大小. A B mg x y 解: 取滑块分析 (滑块是动点, AB杆是动系) 习 10 7 ( p 242 ) 30 r M 解: 取销钉M为动点, 水平槽杆为动系, 速度分析如图. 取销钉M分析其受力及运动 30 60 M M 60 60 30 30 加速度分析如图 由可得: 由沿水平方向投影 例九. 质量为20kg的物块B用2m长的绳子悬挂在 30 kg的小车上. 不计摩擦. 试确定系统从图示位置释放瞬时, 小车的加速度和绳子的张力. A B 30 F B A F 关于运动微分方程坐标轴方向的选择问题: 如果由题意能判断出运动的方向( 速度方向 ) , 则选择坐标轴的方向尽量 与运动的方向一致. x y O x y O 思考