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2.1.3 数列极限存在的条件 1 定理2.9 单调有界数列必有极限 定理2.9的几何解释： 以单调增加数列为例 数列的点只可能向右一个方向移动 其 结果或者无限向右移动 或者无限趋近于某一定点A 而对有界数 列只可能后者情况发生 一 单调有界定理 M x1x5x4x3x2xn A 1) 单调递增有上界的数列存在极限; 2) 单调递减有下界的数列存在极限. 2 定理2.9 (单调有界定理) 单调有界数列必有极限 证 3 例如 由定理2.9 知 是单调减少且下界为1的数列; 是单调增加且上界为1的数列. 存在 . 实际上 4 5 故故 a an有上界有上界. . 由单调有界定理，数列由单调有界定理，数列 a an有极限，记为有极限，记为a a. . 由于由于 对上式两边取极限得对上式两边取极限得 6 例例3 3 设设S S为有界数集为有界数集. . 证明若证明若supSsupS= =a a S S，则存在严格单调递，则存在严格单调递 增数列增数列 x x n n S S，使得，使得 证证 因为因为a a是是S S的上确界的上确界， 故对任给的故对任给的 0 0， 7 同理 证证( (补补) ) 因 且多了最后一个正项，从而 an 单增. 8 从而 对任意的n有 故an 有上界， 注 (1)这个极限值被瑞士数学家欧拉首先用字母e(是一个无理 数,其值用e= 2.7182818284)来表示，即 存在. 9 定理2.10的几何解释 柯西准则说明收敛数列各项随着n，m的越大，彼此越是接 近，以至于n，m充分大时，任何两项之差的绝对值可小于预先给 定的任意小正数. 或形象地说，收敛数列的各项越到后面越是挤 在一起. a1a2a3a4a5 柯西收敛准则的条件称为柯西收敛准则的条件称为柯西条件柯西条件. . 二 柯西收敛准则 10 11 12 柯西收敛准则的等价叙述柯西收敛准则的等价叙述( (补充补充) ): : 13 连续复利问题(补充 ) 14 连续复利在研究人口增长、林木增长、细菌繁殖、放射性元素连续复利在研究人口增长、林木增长、细菌繁殖、放射性元素 的衰变等实际问题中，都有十分广泛的应用的衰变等实际问题中，都有十分广泛的应用. . 这表明，这表明，e e在经济学上可解释为：当利率为在经济学上可解释为：当利率为100%100%时，连续计算时，连续计算 复利，复利，1 1元在元在1 1年后将增至年后将增至e(2.7
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