ch1-2数列极限的概念.ppt

第1章 函数、极限、连续 第1节 集合、映射与函数 第2节 数列的极限 第3节 函数的极限 第4节 无穷小量及无穷大量 第5节 连续函数 2008年10月8日1 南京航空航天大学 理学院 数学系 第2节 数列的极限 n2.1 数列极限的概念 n2.2 收敛数列的性质 n2.3数列收敛性的判别准则 2008年10月8日2 南京航空航天大学 理学院 数学系 2.1 数列的极限 1 概念的引入 2 数列的定义 3 数列的极限 2008年10月8日3 南京航空航天大学 理学院 数学系 1. 概念的引入 极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产 生的。例如，我国古代数学家刘徽利用圆内接正多 边形来推算圆面积的方法-割圆术, 就是极限思想在 几何学上的应用. 2008年10月8日4 南京航空航天大学 理学院 数学系 “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” 割圆术： 刘徽 1. 概念的引入 2008年10月8日5 南京航空航天大学 理学院 数学系 割圆术： “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” 刘徽 1. 概念的引入 2008年10月8日6 南京航空航天大学 理学院 数学系 割圆术： “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” 刘徽 1. 概念的引入 2008年10月8日7 南京航空航天大学 理学院 数学系 “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” 割圆术： 刘徽 1. 概念的引入 2008年10月8日8 南京航空航天大学 理学院 数学系 “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” 割圆术： 刘徽 1. 概念的引入 2008年10月8日9 南京航空航天大学 理学院 数学系 “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” 割圆术： 刘徽 1. 概念的引入 2008年10月8日10 南京航空航天大学 理学院 数学系 “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” 割圆术： 刘徽 1. 概念的引入 2008年10月8日11 南京航空航天大学 理学院 数学系 “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” 割圆术： 刘徽 1. 概念的引入 2008年10月8日12 南京航空航天大学 理学院 数学系 “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” 割圆术： 刘徽 1. 概念的引入 2008年10月8日13 南京航空航天大学 理学院 数学系 正六边形的面积 正十二边形的面积 正 边形的面积 2008年10月8日14 南京航空航天大学 理学院 数学系 截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” 2008年10月8日15 南京航空航天大学 理学院 数学系 2、数列的定义 2008年10月8日16 南京航空航天大学 理学院 数学系 数列对应着数轴上一个点列,可看作一动 点在数轴上依次取 注意: x 2008年10月8日17 南京航空航天大学 理学院 数学系 例如 2008年10月8日18 南京航空航天大学 理学院 数学系 播放 3. 数列的极限 2008年10月8日19 南京航空航天大学 理学院 数学系 问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划 它. 利用距离！ 通过上面演示实验的观察: 一般地, 两个常数a, b的接近程度可在数轴上用这 两个点之间的距离来加以刻化, 即 直观上看, 两点间的距离越小, 则这两个点越接近. 2008年10月8日20 南京航空航天大学 理学院 数学系 2008年10月8日21 南京航空航天大学 理学院 数学系 2008年10月8日22 南京航空航天大学 理学院 数学系 2008年10月8日23 南京航空航天大学 理学院 数学系 只要n无限增大，an 就会与1无限靠近, 引入符号和N来刻化无限靠近和无限增大. 2008年10月8日24 南京航空航天大学 理学院 数学系 2008年10月8日25 南京航空航天大学 理学院 数学系 注意: 1. nN 刻画了n 无限增大的过程，也可改写成 2008年10月8日26 南京航空航天大学 理学院 数学系 2008年10月8日27 南京航空航天大学 理学院 数学系 2008年10月8日28 南京航空航天大学 理学院 数学系 例1 证 : 数列极限的定义未给出求极限的方法，我们 可以用定义来证明极限的存在. 2008年10月8日29 南京航空航天大学 理学院 数学系 证 : 2008年10月8日30 南京航空航天大学 理学院 数学系 证 : 证 : 2008年10月8日31 南京航空航天大学 理学院 数学系 EX1 2008年10月8日32 南京航空航天大学 理学院 数学系 几何解释: “邻域式的定义” 2008年10月8日33 南京航空航天大学 理学院 数学系 (1) 唯一性 (2) 有界性 (3)(3) 四则运算法则 (4) 保号性 (5) 保不等式性 (6) 夹逼性 (7) 子数列概念及其收敛性 2.2 收敛数列的性质 2008年10月8日34 南京航空航天大学 理学院 数学系 （1）唯一性 证: 用反证法.及且 取因 故存在 N1 , 从而 同理, 因故存在 N2 , 使当 n N2 时, 有 使当 n N1 时, 假设 从而 矛盾.因此收敛数列的极限必惟一. 则当 n N 时, 故假设不真 ! 满足的不等式 定理2.1 收敛数列的极限是唯一的. 2008年10月8日35 南京航空航天大学 理学院 数学系 （2）有界性 即存在 定理 2.2 若数列 证由定义, 推论 无界数列必定发散. 2008年10月8日36 南京航空航天大学 理学院 数学系 数列有界是数列收敛的必要条件 .有界数列未必收敛,如(-1)n- 1. 注意: 例1 证由定义, 2008年10月8日37 南京航空航天大学 理学院 数学系 （3）有理运算法则 2008年10月8日38 南京航空航天大学 理学院 数学系 2008年10月8日39 南京航空航天大学 理学院 数学系 所以 的任意性, 得到 证明 (2) 对于任意 证明 (1) 2008年10月8日40 南京航空航天大学 理学院 数学系 的任意性, 证得 于是 2008年10月8日41 南京航空航天大学 理学院 数学系 例2 用四则运算法则计算 (1) 当 m=k 时, 有 分别得出:解 2008年10月8日42 南京航空航天大学 理学院 数学系 (2) 当 m k 时, 有 所以 2008年10月8日43 南京航空航天大学 理学院 数学系 EX3 EX2 2008年10月8日44 南京航空航天大学 理学院 数学系 EX2 解所以由极限四则 运算法则, 得 故得 2008年10月8日45 南京航空航天大学 理学院 数学系 EX3 解先变形再求极限. 2008年10月8日46 南京航空航天大学 理学院 数学系 o 若 且 时, 有 定理2.4 （4）保号性 注: 若 则， 2008年10月8日47 南京航空航天大学 理学院 数学系 （5）保不等式性（保序性） (用反证法证明) 进一步推广得: 2008年10月8日48 南京航空航天大学 理学院 数学系 （6) 夹逼性 本性质既给出了判别数列收敛的方法；又提 供了一个计算数列极限的方法。 2008年10月8日49 南京航空航天大学 理学院 数学系 上两式同时成立, 证 2008年10月8日50 南京航空航天大学 理学院 数学系 EX4、 解 2008年10月8日51 南京航空航天大学 理学院 数学系 2008年10月8日52 南京航空航天大学 理学院 数学系 例3 则由 夹逼性，求得 证: 2008年10月8日53 南京航空航天大学 理学院 数学系 例4 解 由夹逼定理得 2008年10月8日54 南京航空航天大学 理学院 数学系 推广 为 m 个正数, 证明 证由 以及极限的夹逼性, 可得 2008年10月8日55 南京航空航天大学 理学院 数学系 例5 求数列的极限. 则由 夹逼性，求得 又因 解有 2008年10月8日56 南京航空航天大学 理学院 数学系 数列极限的两大问题 n数列极限的存在性； （此问题为最关键的问题） n数列极限值的大小； （存在性成立后， 才想办法计算极限） 2008年10月8日57 南京航空航天大学 理学院 数学系 几种证明极限存在的方法： n按照数列极限的定义证明。 n利用夹逼性证明。 最简单的思想是利用数列本身的性质 证明数列极限的存在性 2008年10月8日58 南京航空航天大学 理学院 数学系 n（1）单调有界准则 n（2） 数列极限的归并原理 n（3） Weierstrass(维尔斯特拉斯)定理 n（4） 柯西(Cauchy)收敛原理 2.3 数列极限存在的判别准则 2008年10月8日59 南京航空航天大学 理学院 数学系 （1）单调有界准则 单调增加 单调减少 单调数列 几何解释: 定理2.6 单调增加且有上界的数列必有极限. 单调递减且有下界的数列必有极限. 用确界定理 证明 2008年10月8日60 南京航空航天大学 理学院 数学系 几点说明： 定理中an的单调性只要从某一项之后满足即可. 这是因为数列的敛散性与前有限项无关。 此定理的条件为充分非必要条件。 2008年10月8日61 南京航空航天大学 理学院 数学系 例6 证 (舍去) 2008年10月8日62 南京航空航天大学 理学院 数学系 证明例7 证 2008年10月8日63 南京航空航天大学 理学院 数学系 正的 2008年10月8日64 南京航空航天大学 理学院 数学系 2008年10月8日65 南京航空航天大学 理学院 数学系 证明： 递增显然，下面证明有上界，事实上： EX 设 其中 ，证明 收敛。 2008年10月8日66 南京航空航天大学 理学院 数学系 EX. 证法1 证法2 2008年10月8日67 南京航空航天大学 理学院 数学系 证法3 2008年10月8日68 南京航空航天大学 理学院 数学系 子数列概念及其收敛性 定义 （2） 数列极限的归并原理 2008年10月8日69 南京航空航天大学 理学院 数学系 注 数列收敛与其子数列收敛的密切联系： 定理 2.7 (数列极限的归并原理) 2008年10月8日70 南京航空航天大学 理学院 数学系 证:必要性 推论 若数列存在两个子数列分别收敛于不同的 极限，则这个数列必发散。 注 该推论是证明数列发散的很好的工具。 2008年10月8日71 南京航空航天大学 理学院 数学系 例8 证 (必要性)由定理2.7 2008年10月8日72 南京航空航天大学 理学院 数学系 数列收敛与其子数列收敛的密切联系： n1 若数列收敛，则其任意子数列也收敛（并且 收敛到同一极限） n2 若数列的奇数列和偶数列都收敛到同一极限 ，则原数列也收敛到该极限 2008年10月8日73 南京航空航天大学 理学院 数学系 （3） Weierstrass (维尔斯特拉斯)定理 考虑有界数列和收敛数列之间的关系 收敛数列一定有界有界数列未必收敛 定理2.8(Weierstrass定理) 有界数列必有收敛子数列 注: 数列的任意收敛子数列的极限称为极限点, 也称为 聚点，定理2.8也可以称为数列的聚点原理. 2008年10月8日74 南京航空航天大学 理学院 数学系 （4） 柯西(Cauchy)收敛原理 1）Cauchy数列（基本数列）: 定义2.2 如果 2）柯西收敛原理 定理 2.9 (柯西收敛原理) 收敛为基本数列。 2008年10月8日75 南京航空航天大学 理学院 数学系 定理2.9 柯西极限存在准则(柯西收敛原理) 数列极限存在的充要条件是: 存在正整数 N ,使当时, 证: “必要性”. 设则 时, 有 使当 因此 有 2008年10月8日76 南京航空航天大学 理学院 数学系 “充分性” 为基本数列由定理2.8， 使当时, 有 另一方面， 为基本数列,使当 时, 有 取 使当 时, 有 2008年10月8日77 南京航空航天大学 理学院 数学系 柯西(Cauchy)收敛原理 2008年10月8日78 南京航空航天大学 理学院 数学系 例8 证明 2008年10月8日79 南京航空航天大