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C4 不可压缩粘性流 体外流 外流：物体在无界的静止粘性流体中 运动,或无界的粘性流体绕物体流动时形 成的流场。 C4.1 引言 外流的特点:由壁面不滑移条件,在物体周围形成从物 面速度为0到外流的速度梯度区域(粘性影响区)。 当Re1时,粘性影响区缩小到壁面附近的狭窄区域内( 边界层)。Re很大的实际流体绕固体均匀流动时， 在固体后部将产生旋涡区，而理想流体的均匀流动则 无此区。分析边界层内的流动为求解边界层内的速度 分布 和壁面摩 擦阻力. 粘性概念 1)流体粘性：在作相对运动的两流体层的接触面上 ，存在一对等值而反向的作用力来阻碍两相邻流体 层作相对运动的流体性质。 粘性阻力或内摩擦：由粘性产生的作用力。 粘性阻力的成因：由于存在分子不规则运动的动量 交换（气体）和分子间的吸引力（液体）。 2)牛顿内摩擦定律：F=AdV/dy 或 =F/A=dV/dy 为动力粘性系数,与流体种类和温度有关的比例常 数。 3)粘性系数：是流体粘性大小的一种度量。不同 的 流体有不同的值。 C4.2 边界层概念 边界层：定常绕流中流体粘性只在贴近物面极薄的一 层内主宰流体运动，称这一层为边界层。 整个流场可划分为边界层、尾迹流和外部无粘流(位 流)三个区域。 边界层概念 根据大雷诺数下边界层非常薄的前提,可对粘性流体 运动方程作简化,得到普朗特方程的边界层微分方程 。 在边界层内，流速由壁面上的零值急剧地增加到与自 由来流速度同数量级的值。因此沿物面法线方向上的 速度梯度很大，即使流体的粘性系数很小，但粘性应 力仍然可达到一定的数值。 此外,由于速度梯度很大,使得通过边界层的流体有相 当大的涡旋强度,流动是有旋的。 在逆压梯度作用下 流动会发生分离。 势流 U 边界层 尾迹流 当边界层内的流体离开物体而流入下游时，在物体 后面形成尾迹流，在尾迹流中，初始阶段还带有一 定强度的旋涡，速度梯度还相当大，但是由于不存 在固体壁面的阻滞作用，不在产生新的旋涡，原有 的旋涡将逐渐扩散和衰减，速度分布渐趋均匀，直 至在远下游处尾迹完全消失。 边界层和尾迹流以外区域，流动的速度梯度很小粘 性影响可忽略，流动近似为无粘的理想流动。 绕流场：可由满足欧拉方程的外部流场与有粘性应 力的边界层方程控制的内部流场组合而成。 流场三个区域 1.边界层厚度估算 单位体积流体的惯性力相应量级为 单位体积流体的粘性力相应量级为 在边界层粘性力与惯性力量级相当: 说明边界层的厚度与(Re)1/2成反比.当Re, 边界层厚度趋于0,即边界层的特点是厚度很小. (x) x l x y U 2边界层厚度的增长 大量的实验数据和相似理论证实，流动状态不仅取 决与临界速度，而且由综合反映管道尺寸，流体物 理属性，流动速度的组合量雷诺数Re来决定： Re=Ux/= Ux/ 其中：流体密度；V流体平均速度；l特征 长度；流体动力粘性系数； =/流体运动粘性系数。 Re数是相似流动中惯性力和粘性力量级之比。 Re=VL/= VL/ （=V2/V/L= 惯性力/粘性力） 边界层厚度的增长 说明Re数越大表明流体质点惯性力相对与质点 上的粘性作用力也越大； 反之，小Re数流动是粘性主宰的流动。 在层流边界层中当地边界层厚度为: 说明层流边界层的厚度与(x)1/2成正比,随着沿 平板边界层厚度不断增长. 3. 边界层内的流态 层流:流体是一层层地流动,各层间互不相混的流动 状态。 湍流(或紊流)：流速增大到某一个临界值时，流体 处于完全无规则的乱流状态的流动状态。 临界流速：把流动状态发生变化时的流速称为临界 流速。 上临界雷诺数Recr:由层流开始转变到湍流时所对 应的雷诺数。当Re Recr时,流动为湍流状态； 下临界雷诺数Recr :由湍流开始转变到层流时所对 应的雷诺数。当Re Recr时,流动为层流状态；当 RecrReRecr时，流动可能是层流状态，也可能 是湍流状态。 平板定常层流和湍流边界层 xT 层流边界层 转捩段 AOB x U 湍流边界层 边界层内流动有层流和湍流。 在一般情况下，流体从物体前缘起形成层流边界层 ，而后由某出开始，层流边界层处于不稳定状态， 并逐渐过渡为湍流边界层。 即当流速增大到某一个临界值时，流体处于完全无 规则的乱流状态的流动状态，Rex= Ux/Recr时 ，绕平板层流边界层流动为湍流状态。 临界雷诺数 x cT 层流边界层转捩点 A O x U 湍流边界层 从层流转变到湍流的过渡区域称为转捩段。 对应于转捩点A的雷诺数为临界雷诺数。 Recr =UxT/。Recr数值由实验确定，它与物面形 状和来流的紊流度有关。 对于平板流动，Recr=51053106 0.99 V0 Y p x C4.2.2 边界层厚度 1.名义厚度 V0 边界层外边界 由于离物面一定距离后,速度梯度 就非常小,以致可不计粘性的影响 如果以V0表示外部无粘流速度， 则通常把各个截面上的速度达到u=0.99 U0值的所有 点的连线定义为边界层外边界，而从外边界到物面 的垂直距离定义为边界层厚度。 设物面某点p处的边界层厚度为： 0 V0 Vx Y 边界层边界 * dy p x 2. 位移厚度* 对于理想流体，通过边界层内的 流量oudy只需要比小的 面积，其减小的厚度用*表示。 有：0 V0(-*)=oudy 位移厚度* ：代表理想流体的流线在边界层外部边 界上由于粘性作用向外移动的距离*。 边界层位移(排挤)厚度： * =o(1-u/0 U)dy 对于不可压缩流：*=o(1- u/ U)dy * 边界层边界 边界层位移厚度其值也是边界层外边界处流线偏离 理想流线的距离。 当理想流体流过壁面是，流线与壁面平行(实线)。 实际流体流过避壁面时，由于边界层内粘性阻滞作 用，流速减小，为保证通过流管的流量，流线必定 向外偏移，偏移的距离为*。 位移厚度* 3. 动量损失厚度(*) 对于边界层内流体速度小于理想流动的速度，因此其 动量也会减小。单位时间内通过边界层厚度的流体 实际具有的动量为ou2dy，而此部分流体若以边 界层外边界上理想流体速度U运动时所应具有的动能 为（oudy）U，因此动能损失为： 0U2* =ouUdy-ou2dy 这个厚度*称为动量损失厚度。 *=o(u/0U)(1- u/U)dy 对于不可压流（=0）： * =o(u/U)(1- u/U)dy 动量损失厚度的物理意义:是以速度V通过高为*的 断面所具有的动量就等于由边界层引起的动量的减少 量。 0 V0 Vx Y 边界层边界 * dy p x 边界层特性 速度为U的直匀流流经长度 为l的平板,平板表面与来流 平行。 边界层厚度很小，边界层外的流动可看成与平板平 行的理想流动，流速V0= U,且沿平板V0=常数, dV0/dx=0。 表面的流体速度为0，在远离平板处速度才恢复到 均匀流动。 C4.3 平板层流边界层精确解 C4.3.1普朗特边界层方程 连续方程： 动量方程： 对二维不可压流的基本方程作数量级分析： 设物面为平面，沿物面取x轴，y轴垂直于物面，设x 方向的流动速度u的数量级为V,u的数量级为V,x方 向的距离的数量级为l,x的数量级为l;在边界层内y 的数量级为，它与x的数量级相比是小量，1时，边界层横向尺度1/Re1/2，即边界 层的横向尺度与Re数的平方根成反比。 边界层内压强在垂直壁面方向不变，沿壁面方向 的压强等于外部位势流场沿壁面压强。 粘性项只有法向扩散，流向的粘性扩散远小于法 向扩散，可以忽略，即在斯托克斯方程中忽略有 项。 外部势流无压强梯度边界层方程 沿边界层外边界,伯努利方程: p +V02/2 = C dp/dx = -V0dV0/dx 边界层方程： u/x + v/y = 0 uu/x + vu/y = -1/p/x 求位流解求解理想流体对物体的绕流： 物体表面的速度分布为u(x),因边界层很薄, u(x)可 认为边界层外边界上的切向速度分布 y =,u = V0(x) 边界条件 边界条件： 在物面上y=0处，满足无滑移条件，u=0，v=0； 在边界层外边界y=处，u= V0(x) ； 在边界层外边界上：y=，u/y = 0 求解： u= u(x,y) 摩擦系数为：w(x) =(u/y)y=0 例C4.1 二维微弯曲面的边界层方程 o o R 边界层原点 边界层外缘 壁面 y x V0 曲面边界层：采用正交曲线坐标系，对于二维情况， 以物面上的某一点O为原点，沿流动方向以物面轮廓 线作为x轴，沿物面法线自壁面算起的距离作为y坐标 ，R为物面曲率半径。 经数量级分析后得边界层方程： u/x + v/y = 1 uu/x + vu/y = -1/p/x u2/R=1/p/y 在曲面边界层方程中由于曲面使流动弯曲， 产生离心力，使y方向的压强梯度不为0。 V (x) u(x,y) y x V o C4.3.2 布拉休斯平板 边界层精确解 流函数与速度关系为：/y=u,/x=v 代入边界层方程: 已知:粘性不可压流(,u0),以0迎角，U0，流过厚度 为0的半无限长平板；求w(x)和长度为L的平板的 摩擦阻力；速度分布；(x) u(x)=u (x)=V =常数, dp/dx= -u du/dx=0 布拉休斯方程 布拉休斯引进一个新变量： = y/(x/U)1/2 =(x/U)1/2f(), f=u/U 整理得常微分方程: 边界条件： 在物面上=0处,满足无滑移条件，f=f=0； 在无限远处， f-1 定义无量纲名义厚度: 式中Rex=Vx/是距平板前缘为x处的当地雷若数。 摩擦阻力系数 无量纲位移厚度: 无量纲位移厚度: 壁面切应力: 壁面局部摩擦系数: 平板单面上的 摩擦阻力系数: x x C4.4卡门动量积分关系解 y A o x E B C D dx 1）边界层积分方程 设流动为定常平面不可压流动, 在边界层中取一微元控制体 ABCDE(单位宽度),单位时间: AB边流入控制体的质量 CE边流出控制体的质量 BC边流入控制体的质量为AB与CE的差 AB边流入控制体的动量 CE边流出控制体的动量 BC边流入控制体的动量 流入和流出控制体的动量差 y A o x E B C D dx 作用在控制体上的力： 因在边界层内p/y=0, 在AB和CE边上的压强沿y方向 没有变化。 AB边上 CE边上 BC边上 AE边上 合力： 简化并;略高阶小量得： 控制体上的力 卡门动量积分关系式 根据动量定理，作用在控制体上的合力等于单位时 间流出与流入控制体动量之差： 消去dx得边界层积分方程-卡门动量积分关系式 对于不可压流： 2）边界层方程 边界层外边界上是理想流体，根据伯努利方程 p+1/2V02 = 常数 对x求导 由于 则 而 可化为： 卡门动量积分方程： 例 平板边界层的解 设速度分布为u=a0 + a1y + a2y2，由边界条件 1)在壁面上满足无滑移条件 y=0:u=0,v=0 得:a0=0, 2)在边界层外边界上有 y=：u=V0，u/y=0； 得：a1+a22=V0 , a1+2a2=0 则：a0=0, a1=2(V0/), a2= (V0/2) 速度分布： 由动量损失厚度 代入卡门动量积分： 例 平板边界层的解 牛顿内摩擦定律： 则 积分得： 设在平板前缘x=0：=0，则c=0 边界层厚度： 得: 平板单面受阻力: 平板的阻力系数 C4.5 无压强梯度平板边界层近似计算 C4.5.1 平板层流边界层 由于平板外无粘势流是均匀的，有du/dx=0，即 dp/dx=0，则积分方程可简化为： d* /dx =w/V02 (1)确定速度分布 设速度分布：u/V0 =f()，=y/ f()=a3+b2+c+d 应满足边界条件：边界层外缘的渐近线条件： uy= V0 ，u/yy=0， 壁面无滑移条件：uy=0= 0， 零压强梯度条件：2u/y2y=0=0 可得：a=-1/2，b=0，c=3/2，d=0 则： u/V0 =f()=3/2-1/23 (2) (x)和w的确定 * =o(u/V0)(1- u/V0)dy =of(1-f)d =o(3/2-1/22)(1- 3/2+1/22)d =39(x)/280 w/=(u/y)y=0 =V0 /f(0)=V0 / 其中:=f(0)=3/2-3/22=0=3/2 (3) =4.64(x/V0)1/2 =4.64x/(Rex)1/2 D=olwbdx 积分得： 对整个平板的摩擦阻力系数为: 摩擦阻力系数 C4.5.2 平板湍流边界层 时均速度分布: u为时均速度;U相当圆管轴线最大速度.相当于圆 管半径.平均速度V=0.8167U. 1.光滑壁面(4000Re105): 壁面切应力: 动量厚度: 则: 摩擦系数 积分得: 在前缘x=0,=0得c=0; 壁面切应力: 壁面局部摩擦系数: 摩擦阻力系数 平板单面上的摩擦阻力: 摩擦阻力系数: 结果与层流结果比较: (1)层流边界层厚度与x1/2成正比.湍流边界层厚度与 x4/5成正比.说明:湍流边界层厚度增长迅速. (2)相同的雷诺数,湍流边界层的摩擦阻力系数比层流 边界层大得多. 粗糙壁面摩擦阻力系数 湍流光滑区阻力系数: 层流-湍流转捩区阻力系数: 湍流完全粗糙区阻力系数: 完全粗糙区 过渡 粗糙区 光滑区 转捩区 层流区 CDf Rel dp/dx0 dp/dx=0dp/dx0 C4.6 层流边界层和分离 1.分离的物理原因 流体沿壁面流动时,边界层厚度逐渐 增大,由于摩擦损失,壁面近旁流体 的动能有很大损失。 如果沿流动方向存在正压强梯度(dp/dx0)， 则流体速度衰减更快,以至靠近壁面s处的流体停止往 前流动,结果边界层内流体折向主流,从壁面上分离出 去,在分离点s后面的流体在正压强梯度作用下作与主 流相反的流动。 在分离点s之前,u/y 0;在分离点s之后,u/y0; 在分离点s上,(u/y)y=0=0。 在分离点s处,边界层速度分布曲线具有拐点 (2u/y2)0 =0。 dp/dx0 dp/dx=0dp/dx0 因为在分离点s处壁面上的 (u/y)y=0=0,离开壁面一定距 离后u/y 0 ,在y=处又是u/y =0。 所以一定有 (2u/y2)0 = 0。 只有在逆压梯度作用下才会发生分离。 边界层分离现象：当流体流过非流线型物体时，边 界层内流动从物面分离出来在物体后面形成尾涡区 的现象。在边界层分离的点上有(u/y)y=0=0。边界 层分离现象只能在逆压区发生,即:dp/dx0， (2u/y2)y=00 边界层分离现象 p x dp/dx0 dp/dx=0dp/dx0 2.速度廓线特点 (uu/x+vu/y)=-p/x+2u/y2 边界层内的流动,绕流物体的表面 上速度等于0,在壁面u=v=0. 因此物面附近边界层动量方程为: p/x=2u/y2 根据边界层外位势流动的压强梯度p/y,将边界层内 的流动分为三种情况： (1) 流动方向压强减小(dp/dx0),为顺压梯度。 (2u/y2)00。 (2) 当压力达到极限值时(dp/dx=0),(2u/y2)0=0。 边界层速度剖面u(y)在壁面上形成一个拐点。 (2) 流动方向压强升高(dp/dx0),为逆压梯度。 (2u/y2)00。 C4.7 绕流物体的阻力 Mz V D L F L y x 绕流物体:指浸没在无界的运动流体中的静止物体. 流体绕着物体流动,由于无外边界限制称为自由(来) 流. 用无量纲阻力系数表示绕流物体的阻力: 阻力系数： 迎风面积:对有一定厚度的物体, 取沿来流方向的最大投影面积 为特征面积. U U C4.7.1 摩擦阻力与形状阻力 1 摩擦阻力 摩擦阻力FDf:物面上的粘性切应力在x方向的投影分 量沿物面积分得到的阻力. 摩擦阻力系数: (1)阻力系数与Re数成反比. (2)保持边界层的层流化可减小摩擦阻力; (3)光滑壁面阻力最小,随粗糙度的增加阻力系数增 大. (4)摩擦阻力与平板面积成正比. 2 形状阻力 压差阻力:由绕流物体后部压强不对称分布形成的 合力(形状阻力). 形状阻力系数： 压强沿物面积分: 总阻力:摩擦阻力+形状阻力 x V y o + a a C4.7.2 圆柱绕流与卡门涡街 1.圆柱表面压强系数分布 (1)无粘流的流动 A,B点为前后驻点,C,D点为压强最小点. AC段为顺压梯度区,CB段为逆压梯度区. (2)有粘流的流动 b线为边界层保持层流时发生分离情况. 分离点约在=180; c线为边界层保持湍流时发生分离情况. 分离点约在=120. 后部的压强不能恢复到前部 的水平,有压差阻力. B A c b + 180900 0 1.0 -3.0 Cp - - C D 2.阻力系数随Re数的变化 绕光滑圆柱阻力系数由雷诺数确定: 阻力系数与雷诺数关系: (1)Re1为低雷诺数流动(蠕动流),无流动分离,阻力以 摩擦阻力为主,与速度1次方成比例; (2)1Re500有流动分离,阻力由摩擦阻力+压差阻力, 与速度1.5次方成比例; (3)500Re2105流动分离严重,阻力以压差阻力为 主,与速度2次方成比例,CD几乎不随Re变化(CD =1.2). (4)2105Re5105分离点前层流变湍流,分离点后 移,分离区最小,阻力系数减小(CD =0.3). (5)5105Re3106分离点又前移,CD回升. (6)Re3106,CD与Re无关(为自模区). 3.卡门涡街 卡门涡街:在Re=40,圆柱后部的一对涡旋不稳定摆动, 约Re=60,涡旋交替地从圆柱上脱落,形成有一定规则 的交叉排列的涡列. 涡街引起的阻力为: u为涡街速度. 涡释放频率f: d为圆柱直径. 约Re=605000范围有规则的卡 门涡街;约Re=3002105范围 Sr为常数;之后涡街不是规则的, 到Re3106,涡街重出现. Re Sr 0.28 101 0.2 0.12 105107103 C4.7.3 不同形状物体的阻力系数 1.二维钝体 绕流雷诺数Re104,特征尺寸为截面高度. 具有陡直端面和尖锐角点特征的截面,阻力系数大, CD=2.02.3,流体从角点直接分离,尾流区形状相同. 这类物体的阻力系数几乎不随雷诺数改变. 增加截面的长高比可使形状阻力减小. 若将头部倒圆阻力系数降低约50%; 若尾部成椭圆形阻力系数降低约50%. 2.三维钝体 雷诺数Re104,特征尺寸为钝体的高度. 3.圆球 绕流雷诺数Re=Ud/,在Re1是流体沿球面无分离 绕流,斯托克斯圆球阻力公式: 包括摩擦阻力(2/3)和压差阻力(1/3). 液体粘度: W为小球重量. 圆盘 圆球 CD Re=Vd/ 400 1 10-1106105 C4.8 自由湍流射流 射流(另一类边界层流动):一股速度很