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2-5 柯西中值定理与洛必达法则 拉格朗日 (Lagrange) 中值定理. 拉格朗日中值定理: 若函数 f (x)满足 (1) f (x) 在 a, b 上连续; (2) f (x) 在(a, b) 内可导. 则在 (a, b) 内至少有一点 , 使等式 f (b)f (a)=f ( )(ba). (1) 成立. x y A a 0 B C b 若图 中的曲线弧 AB 由参数方程 表示,其中 t 为参数, 那末,曲线上点( x , y ) 处的切线的斜率为 弦 AB 的斜率为 x y A F(a) 0 B C F(b) 所以 1.柯西中值定理 若函数 f (x) 及 F (x)满足: (1) f (x) 及 F (x) 在 a, b上连续; (2) f (x) 及 F (x) 在 (a, b) 可导; (3) F (x) 0 x(a, b). 则在 (a, b) 内至少存在一点 ,使等式 成立. 注: 当 F (x)= x 时,F (b)F (a) = ba, F (x)= 1 公式(5)为 即 f (b) f (a) = f ( )(ba) 证: F (b) F (a) = F (1) (b a) 0 (a 1 b) 显然: (1) (x) 在 a, b 上连续; (2) (x) 在 (a, b) 内可导; (3) (a)= (b). 所以 (a, b),使 而 (x) 由 F , (a, b) 例 证结论可变形为 洛必达法则 洛必达第一法则 证定义辅助函数 洛必达第二法则 例1：求 解: 6 1 例2 解 例3 解 关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决 的类型 . 例: 求 解: 例 解 通过通分或分子有理化及其它初等变换转化为 或 不定型。 例: 求 解: 法一） 法二） 解法一. = e0 = 1 例1: 求(00型) (0型) = 0 解法二: =e0=1 例2: 求(1型) 解法一: 解法二: 例3 例4 解 例5 解 例: 求 ( 0型) (0型) 解: = 0 =e0 = 1 所以 使用洛必达法则需注意： 1) 检查极限是不是末定型“0/0”或“/” 3)法则不是万能的 例: 求 解: 4）洛必达法则与其它求极限方法结合使用，效果更好. 方法包括：1。能分出的极限存在的因子应及时分出； 2。用等价无穷小代替简化； 3。用恒等变换简化。 常用八个等价无穷小: 例 - 5）有时需用多次法则 例: 求 = = 0 6)抽象函数也可用法则但要注意检查是否符合条件 例 若函数f(x)在点a有导数f(a)根据微分定义，则有 证明：若函数在点a有二阶导数f ”(a)则有 例 设f(x)在x=x0处具有二阶导数， 求极限 解
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