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1.8 复数域和实数域上的多项式,一、C上多项式,那么它在C上是否有根？,每一个次数大于零的多项式在复数域上至多有一个根。,定理1.8.1（代数基本定理）：,任何n（n0）次多项式在C上有n个根（重根按重数计算）。,定理1.8.2：,当n=1时结论显然成立。,证：,假设结论对n-1次多项式成立，则当,推论1：复数域上任一个次数大于1的多项式都是可约的，即C上不可约多项式只能是一次多项式。,推论2：,上都能分解成一次因式的乘积，即,的标准分解式是：,韦达定理：,C上多项式的根与系数关系：,是一个n（n0）次多项式，则它在C中有n个根，记,（2）,比较（1）与（2）的展开式中同次项的系数，,得根与系数的关系为：,如果,根与系数的关系又如何？,例1.8.1：,它以1和4为单根，-2为2重根。,求一个首项系数为1的4次多项式，使,解：设,则,二、实数域上的多项式,定理1.8.3：,证：设,故有,则有,因此多项式：,唯一地分解为实系数一次和二次不可约多项式的,乘积。,假设对结论次数n的多项式结论成立，,现考虑,是一个二次实系数不可约多项式，且,不可约多项式的乘积，故结论成立。,推论3,推论4,n（n0）次实系数多项式,具有标准分解式：,不可约，即满足,在R上
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