几种特殊类型积分因子的求法.doc

运用积分因子方法求解几种特殊类型微分方程方小，数学与计算机科学学院摘 要:针对满足某些条件的微分方程,着重研究如何直接地、有效地求出其积分因子的方法,从而方便快捷地求出其通解.引言：方程取形式时的求解问题教材中主要介绍了五种类型的初等解法，实际上作为基础的还是恰当微分方程，其他类型均可借助积分因子化为这种类型，掌握一些特殊类型的积分因子求法及部分特殊结构微分方程的积分因子的求法，从而大提高解微分方程的效率和可操作性.一.几种特殊类型结构的微分方程的积分因子的求法1常见一阶微分方程几种运用积分因子转化成恰当微分方程1.1可分离变量方程很容易求得积分因子为例 求的积分因子解：变形为积分因子为方程两边乘以上积分因子得：两边积分得原方程的通解为12线性微分方程设及连续，试证方程为线性微分方程它有仅依赖于x的积分因子.证明：设方程是线性微分方程.即存在使得这样所以，方程具有积分因子这即证明了方程有仅依赖于x的积分因子.例2 :解方程: 解: 于是积分因子为: 通解为: .1.3伯努利微分方程方程的积分因子是证明：设伯努利方程为，改写为乘以即再乘以得即这是全微分方程，因此所求积分因子是例 求的积分因子及通解解：积分因子原方程两边同乘以，并化为对称式为凑微分为：两边同时求积分得：1.4 齐次微分方程当时有积分因子 证明 由于则有,同理，由于方程是齐次的，我们不妨设是m次齐次函数，则有由上面两个式子可推出，从而得到，因此方程当时有积分因子例 解 此为齐次方程，故有积分因子乘以积分因子，原方程化为这是一个全微分方程，它的通解为 其中C为常数2、具有特殊结构的一阶微分方程的积分因子的求法2.1方程有积分因子:显然,直接验证可得=为上式的积分因子.若，则是方程的积分因子解：因为=故有积分因子于是原方程化为即 这是一个全微分方程，积分得出通解为或2.2 设函数连续、可微且,则方程有积分因子:证明:令,则原方程可化为 (1)(1) 式两边同乘以得显然(2) 为恰当方程,故(1) 有积分因子,因而原方程有积分因子,但对于一个较复杂的方程,往往不容易直接求得它的积分因子.例 解 原方程化为 因为 ,故有积分因子乘上得即 二针对满足某些条件的微分方程，运用积分因子方法求出通解.但是如果把它的左端分成几组,比如分成两组: (3)后,可分别求得各组的积分因子,也就是如果有 使于是借助于常可求得 的积分因子.为了说明这一点,先注意下一事实.如果是 的一个积分因子,且,则 也是的积分因子.此处是的任一连续函数.事实上 其中表示的一个原函数.据此知,对于任意的函数 及、 都分别是(3) 的第一组和第二组的积分因子.函数有着广泛选择的可能性.若能选择使则就既是(3) 的第一组也是第二组的积分因子.因而也就是的积分因子.例:解方程: 解:原方程改写为显然为使只须取,于是求得原方程的一个积分因子:而以之乘方程的两端,便得 于是=通解为:结论1：设是方程的积分因子，从而求得可微方程使.也是方程的积分因子，其中是t的可微函数.结论2：设，是方程的两个积分因子，且常数，则（任意常数）是方程的通解.结论3：假设当方程为齐次方程时，且为恰当方程，则它的通解可表示为（c为任意常数）.参考文献（顶格、宋体、小四号加粗）：1 刘广珠.高中生考试焦虑成因分析J.陕西师大学报（哲社版），1995，24（1）：161-164.（参考文献序号在文中采用右上标注的