隐函数及参数方程所确定的函数的导数.ppt

第四讲 隐函数及参数方程 所确定的函数的导数 内容提要 1.隐函数的导数； 2.由参数方程所确定的函数的导数。 教学要求 1.熟练掌握隐函数与参数式所确定的函数的一阶、二阶导数 的求法； 2.掌握抽象形式的函数的一阶、二阶导数的求法； 3.熟练掌握对数求导法。 一、隐函数的求导法 1.显函数、隐函数的概念 (1) 显函数:我们把函数y可由自变量x的解析式 称为显函数. (2)隐函数:若变量y与x之间的函数关系是由某一个 方程0),(=yxF所确定,那么这种函数称为由方程 0),(=yxF所确定的 隐函数. 也可以确定一个函数, 因为当 来表示的这种函数, 把一个 隐函数 化为 显函数,称为 隐函数的显化 注意:并不是所有的隐函数都可化为显函数. 如方程0 =+- yx eexy所确定的隐函数就不能显化。 2、隐函数求导法 隐函数求导法 , 就是不管隐函数能否显化 , 直 x 接在方程0),(=yxF的两端对求导, 由此得到隐 函数的导数， 若 y 是由 0),( = yxF 所确定的函数,将方程两边对x 求导 ,但 要 把 y 看成 中间变量, 应用复合函数求导 法则进行求导。 例1 求由方程 222 Ryx=+所确定 隐 函数的导数 dx dy 解 这里 2 y 可以看作是以 y为中间变量的复合函数 运用复合函数的求导法则,在方程两边对x 求导, 隐函数求导的结果中,可能会含有变量y. . 它 与显函数不同 , 显函数求导结果中 , 只含有自变 量 x 注意: 例2求由方程0 =+- yx eexy所确定隐函数的导数 解 运用复合函数求导法则,在方程两边对x 求导, 得 0 0 = =x y, 可以看作y为中间变量的复合函数, 例3 求由方程 4 22 =+yxyx确定的曲线上点)2, 2(- 处的切线方程和法线方程， 解 方程两边对x求导, 于是故曲线上在点)2, 2( - 处切线的 斜率为 2 2 -= = y x yk 2 2 2 2 -= = + + -= y x yx yx 1= 切线的方程为 法线的方程为 02)1( 22 =+xyx 解 yyxarctan)2(+= 解 练习求由下列方程所确定的隐函数的导数 下面介绍对数求导法 ， 它可以用来解决两种类型函数 的求导问题。 解等式两边取对数得 例1 （隐函数） 例2 已知函数 解等式两边取自然对数得 求 y xxyln ln = 得 化简得 练习 解等式两边取自然对数得 (2) 由多个因子的积、商、乘方、开方而成的函数的 求导问题。 解等式两边取自然对数： 等式两边取对数得解 练习 二、由参数方程所确定的函数的求导法 例如, 由参数方程 )20( sin cos p = = t tRy tRx 所确定的函数是 222 Ryx=+,这表明由参数方程可 以确定函数. 一般地 ,如果 参数方程 确定了 y是x的函数)(xf y = , 则称此函数为由参数 方程所确定的函数.下面讨论参数方程的求导法. 在参数方程中， 则参数方程所确定的 即 运用复合函数求导法则, 如果函数具有二阶导数, 由一阶导数和)(tx j= 还可以组成 参数方程 再用参数方程的求导方法得二阶导数 例1 求由参数方程 所确定函数的一阶导数和二阶导数 解 由参数方程的求导方法 , 得一阶导数 或t dx dy cot-= 再由一阶导数t dx dy cot-=和tRxcos=组成参数方 程再用参数方程的求导方法 , 得二阶 导数 例2 求摆线 -= -= )cos1( )sin( tay ttax 在 2 p = t处的切线方程 和法线方程 解 由参数方程的求导方法 , 得 摆线上点 当 时, 处切线斜率为 切线方程为 法线方程为 练习 1. 求下列参数方程所