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主讲教师: 王升瑞 高等数学 第二十八讲 1 第四节 一、有理函数的积分 二、可化为有理函数的积分举例 有理函数的不定积分 第三章 2 换元积分法 ; 初等函数 求导 初等函数 积分 本节起，我们将被积函数的类型出发，讨论 某些特殊类型的函数的不定积分法。 基本积分法 : 直接积分法 ; 分部积分法 3 一、 有理函数的积分 有理函数: 时,为假分式;时, 为真分式 有理函数 相除 多项式 + 真分 式 分解 其中部分分式的形式为 若干部分分式之和 4 例1. 将下列真分式分解为部分分式 : 解: (1) 用拼凑法 5 (2) 用赋值法 故 取代入上式有 取 代入上式有 比较上式左右两端的分子有 6 原式 = (3) 用比较系数法 7 四种典型部分分式的积分: 变分子为 再分项积分 8 例2. 求 解: 已知 9 例3. 求 解: 原式 注：分母的导数为 10 例4 求 解： 说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行, 但不一定简便 , 因此要注意根据被积函数的结构寻求 简便的方法. 11 例5.求不定积分 解 ： 令则 , 故 分母次数较高, 宜使用倒代换. 12 二 、可化为有理函数的积分举例 设表示三角函数有理式 , 令 万能代换 u 的有理函数的积分 1. 三角函数有理式的积分 则 变量代换 通常称为“万能代换”意味着任何 三角函数有理式的积分， 的有理函数的积分。 都可以用这种代换化为可积 13 例1. 求 解: 令则 14 例1 15 注：用万能代换有时计算比较复杂 ， 的三角函数的有理式的积分常需要采用其他形式的代换。 以便能更简便而迅速地得出结果。 例2：求 解： 若用万能代换则 繁！ 因此对某些特殊 16 2. 简单无理函数的积分 令 令 被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换 化为有理函数的积分. 例如: 令 17 例1. 求 解: 令 则 原式 18 例2. 求 解: 为去掉被积函数分母中的根式 , 取根指数 2 , 3 的 最小公倍数 6 ,则有 原式 令 19 例3. 求 解: 令则 原式 20 积分计算比导数计算灵活复杂, 为提高求积分 已把常用积分公式汇集成表, 以备查用. 如 附录 P707 . 积分表的结构: 按被积函数类型排列 积分表的使用: 1) 注意公式的条件 2) 注意简单变形的技巧 的效率, 积分表的使用 21 例1. 求 解:应使用 P707 公式109 . 22 例2. 求 解法1 令则 原式 (P711 公式 39) 23 例2. 求 解法2 令则 原式( P708 公式 13 ) 24 内容小结 1. 可积函数的特殊类型 有理函数 分解 多项式及部分分式之和 三角函数有理式 万能代换 简单无理函数 三角代换 根式代换 2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出, 但不一定 要注意综合使用基本积分法 , 简便计算 .简便 , 2
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