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第八章 一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影 第四节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间曲线及其方程 一、空间曲线的一般方程 空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组 例如,方程组 表示圆柱面与平面的交线 C. C 机动 目录 上页 下页 返回 结束 又如,方程组 表示上半球面与圆柱面的交线C. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 问题:球面被圆柱面 所截部分的面积为? 二、空间曲线的参数方程 将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数t 的函数: 称它为空间曲线的 参数方程. 例如,圆柱螺旋线的参数方程为 上升高度, 称为螺距 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 将下列曲线化为参数方程表示: 解: (1) 根据第一方程引入参数 , (2) 将第二方程变形为故所求为 得所求为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 求空间曲线 :绕 z 轴旋转 时的旋转曲面方程 . 解:点 M1绕 z 轴旋转, 转过角度 后到点 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 这就是旋转曲面满足的参数方程 . 例如, 直线 绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程为 消去 t 和 , 得旋转曲面方程为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 绕 z 轴旋转所得旋转曲面 ( 即球面 ) 方程为 又如, xoz 面上的半圆周 说明: 一般曲面的参数方程含两个参数 , 形如 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线 C 的一般方程为 消去 z 得投影柱面 则C 在xoy 面上的投影曲线 C为 消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程 消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如, 在xoy 面上的投影曲线方程为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 又如, 所围的立体在 xoy 面上的投影区域为: 上半球面和锥面 在 xoy 面上的投影曲线 二者交线 所围圆域: 二者交线在 xoy 面上的投影曲线所围之域 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 空间曲线三元方程组 或参数方程 求投影曲线 (如, 圆柱螺线) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习 P37 题 1，2，7（展示空间图形） P37 题1 (2) (1) 答案: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (3) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 P37 题2 (1) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考: 交线情况如何? 交线情况如何? P37 题2(2) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 P37 题 7 机动 目录 上页 下页 返回 结束 P37 8作业 第五节 目录 上页 下页 返回 结束 课堂练习 P37 题 3，4 , 5, 6 备用题求曲线绕 z 轴旋转的曲面与平面 的交线在 xoy 平面的投影曲线方程. 解：旋转曲面方程为 交线为
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