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1.1 集合 1.2 函数 1.4 无穷小量与无穷大量 1.3 函数的极限 1.5 函数的连续性 一、无穷小量 二、无穷小量的比较 三、无穷大量 四、数列极限与函数极限的关系 1.4 无穷小量与无穷大量 一、无穷小量 1 定义1 在某一极限过程中, 以0为极限的变量(数列) 称为该极限过程的无穷小量,简称无穷小. 无穷小量的等价定义 1. 无穷小是变量,不能与很小的数混淆; 相对于某变化过程而言! 2.零是可以作为无穷小量的唯一的数. 注意 例如, 2. 无穷小量的性质 定理1 在同一极限过程中, （1）有限个无穷小的代数和仍然是无穷小. （2）有限个无穷小的乘积仍然是无穷小. （3）无穷小与有界量（函数）的乘积是无穷小. 注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 推论1 在同一极限过程中,有极限的变量与无穷 小的乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 定理1(3) 无穷小与有界量(函数)的乘积是无穷小量. 证 3.有极限的量与无穷小量的关系 证 例如, 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同. 不可比. 观察各极限 二、无穷小量的比较 1.常用等价无穷小 2.等价无穷小的性质 证 (1) 定理3 例1 解 不能滥用等价无穷小量代换. 对于代数和中各无穷小量不能分别代换. 注意 例2 解错 例3 练习 求 三、无穷大量 观察： 越来越大 越来越大 越来越小 越来越大 越来越大描述: 类似地有M-X定义 , 类似地可定义：正无穷大，负无穷大 请同学自行思考写出精确数学定义! 类似地可定义：正无穷大，负无穷大 (隐藏) 同理可定义 (隐藏) 注意 1.无穷大量是变量,不能与很大的数混淆; 3. 无穷大量是一种特殊的无界变量,但是 无界变量未必是无穷大. 不是无穷大 无界， (隐藏) 证 例4 (隐藏) 定理5(无穷小量与无穷大量的关系) 在同一极限 过程中,无穷大量的倒数为无穷小量;恒不为零的 无穷小量的倒数为无穷大量. 证 证 类似地,可证恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大量 (隐藏) 解 例5 例6 解 小结: 无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分 子,分母,以分出无穷小,然后再求极限. 极限求法小结: a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用无穷小与无穷大的关系求极限; f.利用左右极限求分段函数极限; g.夹逼性; h.单调有界准则; i.两个重要极限 关于复合函数极限性质的说明
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