ch211函数的极值与最大最小值.ppt

第十节 函数的极值与最大、最小值 第二章 一元函数微分学 本节要点 本节引入函数极的概念值，并通过函数的一阶及二阶 导函数的符号去讨论函数的极值情况. 一、函数的极值及其求法 二、函数的最大值、最小值及其求法 三、应用 定义 设函数 在点 的某个邻域 内有定 义，如果对任意的 有 或 则称 是函数 的一个极大值（极小值）, 点 是 的一个极大值点（极小值点）；极大值和极 小值通称为极值；极大值点和极小值点通称为极值点. 一、函数的极值及其求法 注意：函数的极大（小）值是函数在局部范围内的最 大（小）值，或称为相对最大（小）值。 极小值 极大值 在本章的第五节中，费马定理指出: 如果函数 可导，并且点 是它的极值点，那么点 是它的驻 点，即 ，但是函数的驻点未必是它的极值点. 例如函数 但 不是函数的极 值点. 如果函数 在 处不可导，则 也有可能是它 的极值点，例如 在 处不可导，但 是极小值点。 可见，函数的极值点是函数的驻点或不可导点，反之不然. 函数的驻点和不可导点称为可疑极值点。 定理1（判断法一，第一充分条件） 设函数 在点 处连续，在 处的某个去心邻域 内可导； 若 时， 而 时 则 在点 处取极大值；（左升右降） 若 时， 而 时 则 在点 处取极小值；（左降右升） 若在 的两侧， 的是异号的，则 是极值，即 (3)若 时， 的符号不变，则 不是 的极值点. 情形 1情形 2 情形 3 根据上面的定理，若函数 在定义域内连续，且 至多除了某些点外处处可导，则可以按照下面的步骤 求出函数的极值: 求出导函数 进而求出 的全部驻点和不 可导点； 根据导数 在每个驻点和不可导点的左、右邻 近是否变号，确定该点是否为极值点，如果是极值点， 进一步确定确定是极大值还是极小值. 在极值点求出相应的函数值，就得到函数的极值. 函数在 处取极小值，极小值为 例1 求函数 的极值. 解 所以函数在 处取极大值，极大值为 例2 求函数 的极值。 解 在上节中，我们知道函数 在 中连续，在 中可导，且 no 可见 是函数的极大值； 是函数的极小值. 极小值 极大值 例3 求函数 的极值. 解 函数在 处取极小值，极小值为 可见 不是极值点， 也不是极值点， 若 ，则 在点 处取极大值； 定理2（判断法二，第二充分条件） 设函数 在点 处二阶可导，且 . 若 ，则 在点 处取极小值. 仅证 (1) 由极限保号性，在 的一个去心邻域 内， 即 由定理1知， 在 处取得极大值。 所以 是极小值点； 例 函数 ， 将驻点 ，代入 计算，得 有驻点 ，不可导点 . 对于 只能用定理1判别,经判别知 是极大值点. 二、最大值与最小值问题 在上一目中我们讨论了函数的极值及求法，在这一目 中我们讨论函数在区间内的最大值和最小值及相应的求 法. 由闭区间上连续函数的最大值和最小值定理，我们 知道若函数在闭区间 上连续, 则函数一定可以取到 最大值和最小值, 但并没有给出具体的方法. 这里我们 给出在一定的条件下求最大值和最小值的方法. 在应用问题中, 如果归结为求 在区间 上的最大值 或最小值, 则通常称 为目标函数, 称 为约束集. 设函数 在区间 上连续, 至多除个别点外处处 可导, （1）求 在 内得驻点及不可导点； （不需要讨论它们是否为极值点） （2）求出驻点、不可导点以及端点 处的函数值； （3）将上述函数值比较后得出最大值和最小值。 求函数在区间 上的最大值和最小值. 情形 1 例4 求函数 在区间 上的最大值和 最小值。 解 显然函数 在所给区间上连续，可导。又 所以 即函数在区间有唯一的驻点。 且比较： 故 是最小值， 是最大值。 情形 2 设函数 在区间 (开或闭, 有限或无限)内可导 且在 内只有一个驻点 . (1) 若对 内的任意 , 当 时, , 而当 时, , 则 为 在 内的最大值; (2) 若对 内的任意 , 当 时, , 而当 时, , 则 为 在 内的最小值. 唯一驻点情形的图示: “单峰”: 成为 在整个 区间 上的最大值. “单谷”: 成为 在整个 区间 上的最小值. 例6 设 是两个正数，满足条件 （常数）， 求 的最大值，其中 解 设 由题意，需求 在开区间 中的最大值。 可见 是函数 在区间 内唯一驻点。 所以函数在点 处取得最大值。最大值为 (“单峰”情形) NB 本题当 m=n=1 时, 即得大家熟知的结果: 和为定数的两个正数, 当它们相等时其乘积最大. *例7 设抛物线 上在点 处的法线交该 抛物线的另一点 ，求线段 的最短距离 。 解 设 ，则 的斜率为 ， 因 点的切线斜率为 ，故 点的法线斜率 ， 且线段 的长度为 设目标函数 且 故 在 处取得最小值，所以所求最短距离为 情形 3 在很多实际问题中, 由问题的性质可以判断函数 在其定义域 的内部确有最大值或最小值, 而 在 内只有唯一的驻点 , 那么可不用判定 是极大值点或极小值点, 就能断定 必是所求 的最大值或最小值. 例8 将边长为 的正三角形剪去三个全等的四边形（如 图所示）然后将其折起，做成一个无盖的正三棱柱盒 子，当图中的 取何值时，该盒子的容积最大？ 解 盒子的高为 底面面积为 故相应的体积为 求导后并令其为零，即 当 时，该盒子的容积最大。 在 内得唯一驻点 ， 又, 由本问题的实际 意义可知, 盒子的最大容积是必然存在的, 且最大值点 必位于开区间 的内部, 于是立即可得