liu2-2函数的求导法则.ppt

第二节 二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题 一、函数的和、差、积、商求导法则 函数的求导法则 第二章 1.1.导数定义：导数定义： 4.4.求导法则：求导法则： 复习 2.2.导数的几何意义：导数的几何意义：曲线上该点处切线的曲线上该点处切线的斜率斜率. . 3.3.可导的可导的几何意义：几何意义： 曲线曲线在在存在存在不垂直于不垂直于轴的轴的切线切线. . （注意使用条件）（注意使用条件） 5.5.反函数的求导法则：反函数的求导法则： 请熟记以下公式 现在看：现在看： 函数函数对 对 x x 可导，可导， 函数函数对 对 u u 可导，可导， 函数函数对 对 t t 可导，可导， 于是于是 对对 t t 可导，可导，函数函数 对对 t t 可导，可导，函数函数 对对 y y 可导，可导，函数函数 回忆回忆 原因：原因： 是由是由复合而成 复合而成. . 即即: :是否有是否有成立？ 成立？ 三、 复合函数的求导法则 定理3 ： 如果在点可导， 而在点 可导， 则复合函数 在点 可导， 且其导数为 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量 即或 即 求导,乘以中间变量对自变量求导. (链式法则) 在点x可导,定理3.在点 可导复合函数且在点 x 可导, 证:在点 u 可导,故 （当 时 ) 故有 推广推广 注意：注意：可推广到有限次复合可推广到有限次复合. . 如如 设设则则复合函数复合函数 的的导数为导数为 由由与与复合而成 复合而成. . 例例1 1 解解设设 则有则有 例例2 2已知已知求 求 解解可可看作由看作由 复合而成，复合而成， 因而因而 例例3 3已知已知 求求 解解由由 复合而成，复合而成， 因而因而 解解 复合而成，复合而成， 注意：注意：对幂指函数需要变形后才能进行求导，对幂指函数需要变形后才能进行求导， 由由 否则无法求出否则无法求出. . 例例4 4 求求已知已知 证证 证毕证毕 例例5 5证明：证明： 复合而成，复合而成， 由由 解解 例例6 6 求求y y= =f f( (x x 2 2 ) )的导数的导数( (其中其中f f( (x x) )可导可导). ). 可可分解为分解为 复合函数的求导法则有三个步骤复合函数的求导法则有三个步骤： （1 1）分解复合函数，分解到）分解复合函数，分解到基本初等函数基本初等函数或或 （2 2）按）按锁链法则锁链法则进行计算进行计算. . （3 3）把中间变量）把中间变量回代回代到原来的变量到原来的变量. . 注意：注意： （1 1）关键关键是是分解分解，分解原则：，分解原则：各个分函数的各个分函数的 （2 2）熟练后这种分解可省去，即省去中间变量）熟练后这种分解可省去，即省去中间变量 （3 3）该法则可推广到多（有限）层复合函数，）该法则可推广到多（有限）层复合函数， 简单函数简单函数为止为止. . 导数可求导数可求. . 即即 例7求 解 解 已知 例8 求 已知 例例9 9 解解 求求已知已知 四、初等函数的求导问题 1. 常数和基本初等函数的导数 (P95) 2. 有限次四则运算的求导法则 ( C为常数 ) 3. 复合函数求导法则 4. 初等函数在定义区间内可导 , 由定义证 , 说明: 最基本的公式 其他公式 用求导法则推出 . 且导数仍为初等函数 例10. 求 解: 例11.设 解: 求 先化简后求导 例12. 求 解: 关键: 搞清复合函数结构 由外向内逐层求导 例13. 设求 解: 例例1414 解解 该题该题先用先用乘积，再用锁链法则乘积，再用锁链法则. . 求求已知已知 解 例15求已知 解 故 例16 求 已知 解解变形：有理化变形：有理化 解解变形变形故故 例例1717 求求 已知已知 例例1818 求求 已知已知 例19 解 求 已知 例例2020 解解 例例2121 解解 例例2222 解解 求求 的的导数导数( ( 其中其中 可导可导) ) 它可它可分解为分解为 说明：说明： 例例2323 解解 小结小结 1.1.链式法则链式法