ch3静定结构内力计算.ppt

静定结构的内力计算静定结构的内力计算 1. 1. 几何组成与静定性的关系几何组成与静定性的关系 根据仅用静力平衡条件是否能确定结构的全部反力和内力根据仅用静力平衡条件是否能确定结构的全部反力和内力 这一特性，将结构划分为静定结构和超静定结构。凡可以这一特性，将结构划分为静定结构和超静定结构。凡可以 用静力平衡条件确定全部反力和内力的结构叫做静定结构用静力平衡条件确定全部反力和内力的结构叫做静定结构 ，而超静定结构的全部反力和内力则不能仅由平衡条件确，而超静定结构的全部反力和内力则不能仅由平衡条件确 定，还须考虑结构的变形条件。定，还须考虑结构的变形条件。 从几何组成的角度，结构可分为无多余约束的和有多余约从几何组成的角度，结构可分为无多余约束的和有多余约 束的两类。它们都是几何不变体系，因为用作结构的杆件束的两类。它们都是几何不变体系，因为用作结构的杆件 体系必须是几何不变的。体系必须是几何不变的。 （a）（b） 对于无多余约束的结构，因约束数与自由度相等，所以未对于无多余约束的结构，因约束数与自由度相等，所以未 知约束力的数目与能建立的独立平衡方程数目相等，因而知约束力的数目与能建立的独立平衡方程数目相等，因而 可求得未知力的唯一解。因此这类结构是静定结构。可求得未知力的唯一解。因此这类结构是静定结构。 对于有多余约束的结构，因约束数比自由度多，所以未知对于有多余约束的结构，因约束数比自由度多，所以未知 约束力的数目比能建立的独立平衡方程数目多，因此仅由约束力的数目比能建立的独立平衡方程数目多，因此仅由 平衡条件不能求得其确定解。因此这类结构是超静定结构平衡条件不能求得其确定解。因此这类结构是超静定结构 。 凡是有多余约束的几何不变体系一定是超静定结构；反之凡是有多余约束的几何不变体系一定是超静定结构；反之 ，超静定结构一定是几何不变且有多余约束的体系。，超静定结构一定是几何不变且有多余约束的体系。 凡是无多余约束的几何不变体系一定是静定结构，反之静凡是无多余约束的几何不变体系一定是静定结构，反之静 定结构一定是几何不变且无多余约束的体系。定结构一定是几何不变且无多余约束的体系。 几何组成与静定性之间的关系： 2 静定结构的一般分析方法静定结构的一般分析方法 静定结构：静定结构： 几何特性：无多余约束的几何不变体系。几何特性：无多余约束的几何不变体系。 静力特征：仅由静力平衡条件可求全部反力内力。静力特征：仅由静力平衡条件可求全部反力内力。 静定结构受力分析的基本方法：选取静定结构受力分析的基本方法：选取隔离体隔离体，应，应 用用平衡条件平衡条件计算支座反力和杆件内力。计算支座反力和杆件内力。 静定结构受力分析就是计算荷载作用下结构的反静定结构受力分析就是计算荷载作用下结构的反 力和内力，并绘出结构的内力图。力和内力，并绘出结构的内力图。 实际工程中不少结构可以简化为静定结构；静定实际工程中不少结构可以简化为静定结构；静定 结构分析又是超静定结构分析的基础。结构分析又是超静定结构分析的基础。 1 1、几何分析、几何分析 杆件结构是由杆件加上约束按一定的规律和顺序杆件结构是由杆件加上约束按一定的规律和顺序 组成；结构受力分析时则是解除约束将结构拆成组成；结构受力分析时则是解除约束将结构拆成 杆件，求出约束力进而计算内力。杆件，求出约束力进而计算内力。 杆件结构的组成和分析是两个相关的过程，应当杆件结构的组成和分析是两个相关的过程，应当 把受力分析与组成分析联系起来，根据结构的组把受力分析与组成分析联系起来，根据结构的组 成特点确定受力分析的合理途径。成特点确定受力分析的合理途径。 静定结构分析的一般步骤：静定结构分析的一般步骤： 从组成的观点，静定结构的型式：从组成的观点，静定结构的型式： 悬臂式、简支式（两刚片法则）悬臂式、简支式（两刚片法则） 三铰式（三刚片法则）三铰式（三刚片法则） 组合式（两种方式的结合）组合式（两种方式的结合） 悬臂式悬臂式简支式简支式 组合式组合式 三铰式三铰式 组合式结构中组合式结构中: : 基本部分：结构中先组成的部分，能独立承载基本部分：结构中先组成的部分，能独立承载 附属部分：后组成的以基本部分为支承的部附属部分：后组成的以基本部分为支承的部 分，不能独立承载分，不能独立承载 受力分析时，按照与结构组成的次序相受力分析时，按照与结构组成的次序相 反的顺序来进行，即先分析附属部分后分反的顺序来进行，即先分析附属部分后分 析基本部分。析基本部分。 杆件结构杆件结构 结构的组成与分解，搭与拆，是一对相反的过程结构的组成与分解，搭与拆，是一对相反的过程 。因此，在静力分析中如果截取部件的次序与结。因此，在静力分析中如果截取部件的次序与结 构组成时添加部件的次序正好相反，则静力分析构组成时添加部件的次序正好相反，则静力分析 的工作就可以顺利进行。总之，从几何组成分析的工作就可以顺利进行。总之，从几何组成分析 入手，反其道行之，这就是对静定结构进行静力入手，反其道行之，这就是对静定结构进行静力 分析应当遵循的规律。分析应当遵循的规律。 2 2、求支座反力和内部约束力、求支座反力和内部约束力 根据组成和受力情况，取整个结构或部分结构根据组成和受力情况，取整个结构或部分结构 为隔离体，应用平衡方程求出。为隔离体，应用平衡方程求出。 A B A B FF FAx FAy FBy AB C FAy FAx FBy FBx FBx FBy Fcy Fcx 3 3、求杆截面内力、求杆截面内力 用截面法取隔离体考虑平衡，即可求得内力。用截面法取隔离体考虑平衡，即可求得内力。 隔离体要与周围的约束全部断开，以相应的约隔离体要与周围的约束全部断开，以相应的约 束力代替。隔离体上的荷载、约束力不能遗漏束力代替。隔离体上的荷载、约束力不能遗漏 。未知力一般假设为正号方向，已知力按实际。未知力一般假设为正号方向，已知力按实际 方向画，数值是绝对值。方向画，数值是绝对值。 对平面杆系结构，杆件截面内力一般有弯矩对平面杆系结构，杆件截面内力一般有弯矩MM 、剪力、剪力F FQQ和轴力和轴力F F N N 。截断链杆时，在截面上加。截断链杆时，在截面上加 轴力；截断受弯杆件时，在截面上加轴力、剪轴力；截断受弯杆件时，在截面上加轴力、剪 力和弯矩。去掉辊轴支座、铰支座、固定支座力和弯矩。去掉辊轴支座、铰支座、固定支座 时分别加一个、二个、三个支座反力。时分别加一个、二个、三个支座反力。 轴力以拉为正；剪力以绕杆件另一端作顺时针轴力以拉为正；剪力以绕杆件另一端作顺时针 转动者为正；弯矩无统一规定，梁、拱习惯假转动者为正；弯矩无统一规定，梁、拱习惯假 定下侧或内侧纤维受拉为正。定下侧或内侧纤维受拉为正。 截面内力的算式：截面内力的算式： 轴力截面一边的所有外力沿杆轴线方向的投影代数和轴力截面一边的所有外力沿杆轴线方向的投影代数和 剪力截面一边的所有外力沿杆轴法线方向的投影代数和剪力截面一边的所有外力沿杆轴法线方向的投影代数和 弯矩截面一边的所有外力对截面形心的力矩代数和弯矩截面一边的所有外力对截面形心的力矩代数和 K FBy FAy FAx FQK FNK C 例例: :求跨中截面内力 解解: : (下侧受拉) FQc FNc FAy FAx 4 4、绘内力图、绘内力图 计算若干控制截面上的内力，按一定比例在原计算若干控制截面上的内力，按一定比例在原 结构位置上绘出内力图。结构位置上绘出内力图。 弯矩图绘在杆件受拉纤维一侧，不必注明符号弯矩图绘在杆件受拉纤维一侧，不必注明符号 ；剪力图和轴力图可绘在杆件的任一侧，但必须；剪力图和轴力图可绘在杆件的任一侧，但必须 注明正负号。图上标注数值为绝对值，配以单位注明正负号。图上标注数值为绝对值，配以单位 和内力图标识。和内力图标识。 5 5、校核、校核 使用分析时没有使用过的平衡条件。使用分析时没有使用过的平衡条件。 M FQ - 静定结构内力计算方法：静定结构内力计算方法： 结构内力计算的结构内力计算的基本方法基本方法是截面法，即将某一截是截面法，即将某一截 面截开，取某一侧为隔离体，根据隔离体的平衡面截开，取某一侧为隔离体，根据隔离体的平衡 条件计算内力。条件计算内力。 计算内力时，可采用计算内力时，可采用列内力方程的方法列内力方程的方法，也可采，也可采 用用控制截面的方法控制截面的方法。 列内力方程方法：列内力方程方法：把某一截面的内力表示为该截把某一截面的内力表示为该截 面位置的函数，然后把坐标值代入，就可求出内面位置的函数，然后把坐标值代入，就可求出内 力值并绘内力图。力值并绘内力图。 例例: :作图示梁内力图 内力方程式内力方程式: : 弯矩方程式弯矩方程式 剪力方程式剪力方程式 轴力方程式轴力方程式 解解: : MM F F QQ 列内力方程方法举例列内力方程方法举例 FQc FNc FAy FAx x Fx Fy 控制截面法（分段控制截面法（分段- -定点定点- -连线）：连线）：比较简捷比较简捷 ，经常使用，重点。，经常使用，重点。 要点：要点： （1 1）首先选取一些关键点所对应的截面作为控）首先选取一些关键点所对应的截面作为控 制截面。一般取杆段的两端点（包括支座的约束制截面。一般取杆段的两端点（包括支座的约束 点、杆件的交接点、荷载的不连续点及杆件截面点、杆件的交接点、荷载的不连续点及杆件截面 的变化点等）的变化点等） （2 2）以各控制截面为对象，选取适当的隔离体）以各控制截面为对象，选取适当的隔离体 求控制截面的内力，然后按外荷载与内力的微分求控制截面的内力，然后按外荷载与内力的微分 关系确定变化规律绘出各杆段的内力图。关系确定变化规律绘出各杆段的内力图。 （3 3）最后将各杆段的内力图拼装成整个的结构）最后将各杆段的内力图拼装成整个的结构 的内力图。的内力图。 P q2 q1 A C B D E F G 控制截面：A、B、C、D、E、F、G 荷载与内力之间的微分关系：荷载与内力之间的微分关系： 荷载与内力之间的增量关系：荷载与内力之间的增量关系： FN M FQ MM FQFQ FNFN Px Py m FN M FQ Md M FQd Q FNd FN dx qx qy 直杆内力图的形状特征 横向集 中力作 用点 集中力 偶作用 点 横向均 布荷载载 作用区 段 无横向 荷载载作 用区段 铰结铰结 处处 剪力图图有突变变无变变化斜直线线水平线线无影响 弯矩图图有转转折有突变变二次抛 物线线 一般为为 斜直线线 为为零 叠加法绘制弯矩图：（杆段受简单荷载）叠加法绘制弯矩图：（杆段受简单荷载） （1 1）先求解并画出杆段两端的弯矩值；）先求解并画出杆段两端的弯矩值； （2 2）若杆段上没有外荷载，则把两端弯矩值连）若杆段上没有外荷载，则把两端弯矩值连 以直线即为弯矩图；以直线即为弯矩图； （3 3）若杆段上有外荷载，应在两端弯矩值连线）若杆段上有外荷载，应在两端弯矩值连线 的基础上，再叠加上同跨度、同荷载的简支梁弯的基础上，再叠加上同跨度、同荷载的简支梁弯 矩图。矩图。 ik MikMki FQkiFQik q ik MikMki Fky Fiy q Mik Mki Mki Mik 3 静定多跨梁与静定平面刚架静定多跨梁与静定平面刚架 一、静定多跨梁一、静定多跨梁 多根梁用铰连接组成的静定体系。多根梁用铰连接组成的静定体系。 先计算附属部分，把所求出的约束力反向加到先计算附属部分，把所求出的约束力反向加到 基本部分，在计算基本部分。基本部分，在计算基本部分。 ABAB、CDCD梁为基本部分梁为基本部分 BCBC梁为附属部分。梁为附属部分。 例题例题1 1： l0.15l0.85l q ABCD 例题例题2 2：（图：（图3-53-5） ABCDHEFG 30kN20kN.m20kN/m 基本部分：AB，CE；附属部分：BC。 先附属部分后基本部分。 二、静定平面刚架二、静定平面刚架 平面刚架是由梁和柱组成的平面结构。平面刚架是由梁和柱组成的平面结构。 例题例题3 3：（图：（图3-113-11） A B CD E 16kN/m 5kN F AB E C D q=20kN/m 例题例题4 4：（图：（图3-153-15） 例题例题5 5： F q=F/2a A BCDF E G aaaa 2a Fa/2 刚架内力计算和内力图绘制的方法要点：刚架内力计算和内力图绘制的方法要点： （1 1）一般先进行几何组成分析，再求支座反力）一般先进行几何组成分析，再求支座反力 。 （2 2）绘弯矩图时，可以先求出各杆端弯矩，并）绘弯矩图时，可以先求出各杆端弯矩，并 绘在受拉纤维一侧，分别将各杆杆端弯矩的末绘在受拉纤维一侧，分别将各杆杆端弯矩的末 端连以直线，再叠加简支梁荷载弯矩图，不注端连以直线，再叠加简支梁荷载弯矩图，不注 正负号。正负号。 （3 3）绘剪力图时，先计算各杆杆端剪力，再根）绘剪力图时，先计算各杆杆端剪力，再根 据荷载与剪力的微分关系绘剪力图。杆端剪力据荷载与剪力的微分关系绘剪力图。杆端剪力 可根据截面一边的荷载和反力直接计算，也可可根据截面一边的荷载和反力直接计算，也可 以分别取各杆为脱离体，根据荷载和已知杆端以分别取各杆为脱离体，根据荷载和已知杆端 弯矩，利用力矩方程求解。剪力图要注明正负弯矩，利用力矩方程求解。剪力图要注明正负 号。号。 （4 4）绘轴力图时，先计算各杆的杆端轴力，再）绘轴力图时，先计算各杆的杆端轴力，再 根据荷载与轴力的微分关系绘轴力图。杆端轴根据荷载与轴力的微分关系绘轴力图。杆端轴 力可根据截面一边的荷载和反力直接计算，也力可根据截面一边的荷载和反力直接计算，也 可以取结点为脱离体，用投影方程求解。轴力可以取结点为脱离体，用投影方程求解。轴力 图要注明正负号。图要注明正负号。 （5 5）每一步计算都要验算。内力图作好后，更）每一步计算都要验算。内力图作好后，更 须认真校核。通常取刚架的一部分或某些结点须认真校核。通常取刚架的一部分或某些结点 ，取未用过的平衡条件以及荷载集度，剪力和，取未用过的平衡条件以及荷载集度，剪力和 弯矩之间的微分关系来校核。弯矩之间的微分关系来校核。 （6 6）对称结构在对称荷载作用下，弯矩图和轴）对称结构在对称荷载作用下，弯矩图和轴 力图是对称的，而剪力图是反对称的。力图是对称的，而剪力图是反对称的。 4 三铰拱三铰拱 一、概述一、概述 拱：在竖向荷载作用下产生水平推力得曲杆结构拱：在竖向荷载作用下产生水平推力得曲杆结构 。 曲梁 拱 石拱桥 拱跨拱跨( (跨度跨度) ) 拱脚拱脚拱脚拱脚( (趾趾) ) 顶铰顶铰 拱拱( (矢矢) )高高 拱顶拱顶 矢跨比：矢跨比：f / lf / l 三铰拱：三铰拱： 静定拱式结构。静定拱式结构。 抛物线、圆弧线和悬链线等，视荷载情况而定。抛物线、圆弧线和悬链线等，视荷载情况而定。 由于推力的存在，使拱的弯矩比同跨同荷载的由于推力的存在，使拱的弯矩比同跨同荷载的 简支梁弯矩要小得很多，或者几乎没有。使拱简支梁弯矩要小得很多，或者几乎没有。使拱 成为一个受压为主或单纯受压的结构。成为一个受压为主或单纯受压的结构。 这样可以充分利用抗拉强度低，抗压强度高的廉价这样可以充分利用抗拉强度低，抗压强度高的廉价 建材，如砖、石、混凝土等。建材，如砖、石、混凝土等。 当结构跨度比较大时，梁不能胜任，可以采用拱。当结构跨度比较大时，梁不能胜任，可以采用拱。 拱的受力特点：拱的受力特点： 由于推力的存在，水平推力反作用于基础，因由于推力的存在，水平推力反作用于基础，因 此要求有坚固的基础。如果基础不能承受水平此要求有坚固的基础。如果基础不能承受水平 推力，可以去掉一根水平连杆，而在拱内加一推力，可以去掉一根水平连杆，而在拱内加一 根拉杆，由拉杆拉力来代替推力，这种结构成根拉杆，由拉杆拉力来代替推力，这种结构成 为带拉杆的拱。为带拉杆的拱。 二、三铰拱的计算二、三铰拱的计算 （一）支座反力的计算公式（一）支座反力的计算公式 三铰拱的两端都是铰支座，因此反力共有四个三铰拱的两端都是铰支座，因此反力共有四个 未知数。三铰拱整体平衡有三个方程，还可利未知数。三铰拱整体平衡有三个方程，还可利 用中间铰处弯矩为零补充一个方程。因此三铰用中间铰处弯矩为零补充一个方程。因此三铰 拱是静定结构。拱是静定结构。 a3 b1 b3 l Fp1 Fp3 AB C l/2l/2 f a1 Fp1Fp3 C A B FAx FBx FAyFBy FAy0FBy0 Fp2 a2b2 Fp2 FAy=FAy0 FBy=FBy0 FH= MC0 / f FAx=FBx =FH 三铰拱的竖向反 力与其等代梁的 反力相等;水平反 力与拱轴线形状 无关.荷载与跨度 一定时，水平推 力与矢高成反比. FAy0 FAy FH Mc0 （二）内力的计算公式（二）内力的计算公式 x y a3 b1 l Fp2 Fp3 AB C l/2l/2 f Fp1Fp3 C A B a1 b3 FAy0FBy0 FAyFBy FH FH K yk xk Fp1 Fp2 a2b2 K 列表法计算三铰拱内力：列表法计算三铰拱内力： FQ FQ -FH FQ -FH FQ FQ FH FN FN FQ 例： A B 8 7 6 5 4 3 2 1 20kN/m 100kNy x O 20kN/m 100kN A B 三、三铰拱的合理拱轴线三、三铰拱的合理拱轴线 使拱在给定荷载下只使拱在给定荷载下只 产生轴力的拱轴线，被产生轴力的拱轴线，被 称为与该荷载对应的称为与该荷载对应的合合 理拱轴理拱轴 三铰拱的合理拱轴线三铰拱的合理拱轴线 的纵坐标与相应简支梁弯的纵坐标与相应简支梁弯 矩图的竖标成正比。矩图的竖标成正比。 试求图示对称三铰拱在均布荷载作用下试求图示对称三铰拱在均布荷载作用下 的合理拱轴线的合理拱轴线 MM C C 0 0 = =qlql 2 2 /8/8 F F HH= =qlql 2 2 /8/8f f MM 0 0 = =qlxqlx/2-/2-qxqx 2 2 /2/2 = =qxqx( (l-xl-x)/2)/2 y y=4=4fxfx( (l-xl-x)/ )/l l 2 2 抛物线抛物线 可证明：拱在均匀水压力作用下的合理拱轴线为可证明：拱在均匀水压力作用下的合理拱轴线为 圆弧线，其轴力（压力）为常量，等于荷载集度与圆弧线，其轴力（压力）为常量，等于荷载集度与 半径乘积。半径乘积。 注意：一种合理拱轴只对应一种荷载作用情况。注意：一种合理拱轴只对应一种荷载作用情况。 工程中通常以主要荷载作用下的合理拱轴线作为实工程中通常以主要荷载作用下的合理拱轴线作为实 际拱的轴线。因此，在一般荷载作用下，拱内会有际拱的轴线。因此，在一般荷载作用下，拱内会有 不大的弯矩。不大的弯矩。 5 静定平面桁架 主内力主内力: :按理想桁架计算出的内力按理想桁架计算出的内力 次内力次内力: :实际内力与主内力的差异实际内力与主内力的差异 计算简图假设：结点都是光滑的铰结点；计算简图假设：结点都是光滑的铰结点； 各杆的轴线都是直线并通过铰中心；各杆的轴线都是直线并通过铰中心； 荷载和支座反力都作用在结点上荷载和支座反力都作用在结点上； 一、概述 桁架的共同特性：在结点荷载作用下，桁架 中各杆的内力主要是轴向力， 弯矩和剪力则很小，可以 忽略不计。 符合上述假定的桁架称为理想桁架，其各杆符合上述假定的桁架称为理想桁架，其各杆 都只受轴力。都只受轴力。 桁架的分类 按几何组成分类： 简单桁架在基础或一个铰结三角形上依次加二元体构成的 联合桁架由简单桁架按基本组成规则构成 复杂桁架不按基本组成法则组成的桁架 简单桁架 简单桁架 联合桁架 复杂桁架 桁架的杆件依其所在位置不同分为弦杆和腹杆两类 桁架上、下外围的杆件称为弦杆。上边的杆件 称为上弦杆，下边的杆件称为下弦杆。 桁架上弦杆和下弦杆之间的杆件称为腹杆。腹 杆又分为竖杆和斜杆。 弦杆上相邻两结点之间的区间称为节间，其距 离d称为节间长度。 上弦斜杆竖杆 下弦d 二、求桁架内力的方法 计算桁架内力时，对简单桁架只要从最后形成的 结点开始，沿与形成结点相反的次序，逐个结点采用 结点法，就能解出全部杆件内力。对联合桁架一般应 首先用截面法求出联系杆（或铰）的内力（或约束力 ），然后用结点法求出其中的简单桁架的内力。复杂 桁架的计算方法这里不做讨论。 所谓结点法就是取桁架的结点为脱离体，利用各结点的静 力平衡条件来计算杆件的内力或支座反力。因为桁架的各杆只 承受轴力，作用于任一点的各力组成一个平面汇交力系，所以 可就每一结点列出两个平衡方程进行解算。 （一）结点法 在实际计算中，为简便起见，应从未知力不超过两个的结 点依次推算。 对于简单桁架，其最后一个结点只包含两根杆件，所以分 析这类桁架时，可先由整体平衡条件求出其反力，然后再从最 后一个结点开始，依次回溯，即可顺利利用结点平衡方程依次 求出各杆的内力。 1 2 3 4 56 7 8 10kN 20kN 10kN 2m 42m=8m R1=30kNR8=10kN 例 结点法的计算步骤: 1.去掉零杆； 2.逐个截取结点,由结点平衡方程求轴力. 零杆:轴力为零的杆 零杆判断零杆判断： （1 1）两杆结点上无荷载作用时，则该两杆的内力都等于零。）两杆结点上无荷载作用时，则该两杆的内力都等于零。 （2 2）三杆结点上无荷载作用时，如果其中两杆在一直线上，则另一杆）三杆结点上无荷载作用时，如果其中两杆在一直线上，则另一杆 必为零杆。必为零杆。 （3 3） 对称桁架受对称荷载，位于对称轴上有两根共杆共线并垂直于对称桁架受对称荷载，位于对称轴上有两根共杆共线并垂直于 对称轴的不受荷载的四杆结点，不共线的两杆内力为零。对称轴的不受荷载的四杆结点，不共线的两杆内力为零。 （4 4）对称结构受反对称荷载，位于对称轴上或其中点位于对称轴且垂）对称结构受反对称荷载，位于对称轴上或其中点位于对称轴且垂 直该轴的杆内力为零。直该轴的杆内力为零。 00 0 0 练习:试指出零杆 有些情况下,用结点法求解不方便,如: 截面法:作一适当的截面，取桁架的任一部分（包含两个或 两个以上结点）为脱离体，考虑其平衡条件