chap3-4函数的单调性与曲线的凹凸性.ppt

第四节 函数的单调性 与曲线的凹凸性 1、函数单调性判别法 2、曲线的凹凸性与拐点 一、函数单调性的判别法 定理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1 解 注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用 导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的 ，但在各个部分区间上单调 定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调 的，则该区间称为函数的单调区间. 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间 的分界点 方法: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2 解 单调增区间为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 单调减区间 例3 解 单调区间为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4 证 注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性. 例如, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的 重要应用. 定理中的区间换成其它有限或无限区间， 结论仍然成立. 应用：利用函数的单调性可以确定某些方 程实根的个数和证明不等式. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例5 证证明：当时时， 证证 令，则则 在上连续连续 ，在内 因此在上单调单调 增加，从而当 时时， 由于 故 ，即 亦即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 问题:如何研究曲线的弯曲方向? 图形上任意弧段位 于所张弦的上方 图形上任意弧段位 于所张弦的下方 二、曲线的凹凸性与拐点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理2 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例6 解 注意到, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 于是，曲线的凹区间为 (, 0，凸区间为0, + ) 。 定义 注意：拐点是曲线上的点 当x 0, 所以曲线在(, 0上是凹弧； 当x 0时，y 0, 所以曲线在0, + )上是凸弧。 解 例7 求曲线的凹凸区间。 连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点。 符号相同，则点(x0 , f (x0)不是拐点。 例6中，点（0，0）是曲线y = x3上凹弧与凸弧的分界点， 因此是曲线的拐点，在该点处，y=0； 例7中，（0，0）点是曲线的拐点，在该点处y不存在。 因此，曲线y = f (x)的拐点的横坐标只能是使f (x) = 0的 点或f (x)不存在的点。 求连续曲线的拐点的方法如下： （i）求出所有使函数f (x) 的二阶导数f (x) = 0的点 和f (x)不存 在的点； （ii）对于（i）中所求出x0，若f (x)在x0两侧符号相反， 则点(x0 , f (x0)是曲线的拐点；若f (x)在x0的两侧 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例8 解 凹的凸的凹的 拐点拐点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 曲线的弯曲方向凹凸性; 改变弯曲方向的点拐点; 凹凸性的判定. 拐