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,第四节 平面方程,一、平 面 的 方 程,二、点到平面的距离,三、两平面的夹角,一、平面的方程,法向量：如果一个非零向量垂直于一平面，,这向量称为该平面的法向量。,基本结论：一个平面有无数多个法向量；,平面上任意向量都与该平面的法向量垂直。,在空间解析几何中，确定平面的基本条件是：平面过一定点且与定向量垂直。,问题：,1 平面的点法式方程,设M（x，y，z）是平面 上任一点，,那么向量,所以它们的数,量积为零，即,由于n=A，B，C，并且,故有,设平面过点M0（x0，y0，z0），,向量n=A，B，C,(A,B,C不全为零）是它的一个法向量，,如下图所示，,求此平面的方程。,例1 求过点（2,-3,0），且有法向量n=1,-2,3,的平面方程。,解：,根据平面的点法式方程，可得所求的平面,方程为,即,例2 已知一平面过三点P0（5,-4,3)，P1(-2,1,8)和,P2（0,1,2)，求这个平面的方程。,解：,关键在于求出平面的一个法向量。,为此作向,此为平面的点法式方程。,而,所以,则所求平面的方程为,化简为,法向量n。,量,例3 求通过三点P1(a,0,0),P2(0,b,0)和P3(0,0,c)的,平面方程（其中a,b,c均不为零）。,解：,所求平面的法向量为,故所求平面的方程为,即,平面的截距式方程,a,b,c分别称为x轴、y轴和z轴上的截距。,2 平面的一般式方程,可由平面的点法式方程推得。,A，B，C为此平面的一个,法向量，且不全为零。,特殊位置平面的方程：,（1）若D=0，,方程为,平面过原点。,（2）若C=0，,方程为,平面的法向量,为n=A,B,0，,垂直于Oz轴，因此平面与Oz轴平行。,（3）若B=C=0，,方程为,平面的法向量为,n=A,0,0，,与x轴平行，,因此平面与坐标面Oyz平行，,在x轴上的截距为,类似地，可以推知其他情况。,Ozx，Oxy坐标面。,例4 求通过Oz轴且过点M（2，4，-3）的平面方程。,解：,由已知，可设平面方程为,因为它过M点，所以有,代入,即得所求平面方程为,二、点到平面的距离,问题：,和平面外一点P0(x0,y0,z0)，,求点P0到该平面的距离d.,已知平面,如下图，,在该平面内任取一点P1（x1,y1,z1)，,则d就等于向量,在平面的法向量n=A,B,C上投,影的绝对值，,n,N,即,而,因此,即,这就是空间一点P0到平面的距离公式。,例5 求点P（-1,-2,1)到平面,的距离。,解：,三、两平面的夹角,定义：两平面的夹角为这两平面法向量的夹角，,如右图所示。,n1,n2,设两平面1，2的方程分别为：,于是两平面的法向量分别为：,故可得,两个结论：,例5 设平面过点M1（1,1,1)，M2（0,1,-1)，,且垂,直于平面,求此平面方程。,解：用待定系数法解决。,设所求平面方程为,因为M2在平面上，,所以有,又因为所求平
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