A空间解几与向量代数.ppt

因此，我们可用代数方法来研究几何问题。 而向量是研究空间解几的一个重要工具。 由平面解析几何： 在学习一元微积分学的过程中， 平面解析几何的知识是必不可少的 ； 在学习多元微积分学的过程中， 空间解析几何的知识是必不可少的。 平面上的点 平面上的图形 空间的图形 一对数(x, y) 方程 f (x, y) = 0 方程 f (x, y, z) = 0 空间的点一对数(x, y, z) 本章重点 ： q 向量的数量积与向量积 q 平面方程及其求法 q 向量的运算 q 空间直线方程及其求法 q 旋转曲面方程 q 空间直线与平面的关系 q 空间曲线在坐标面上的投影 q 二次曲面方程及其图形 1 向量及其线性运算 一、空间直角坐标系与向量的坐标表示 1. 向量 箭头所指的方向就是向量的方向。 向量：有大小也有方向的量。 一向量起点 M1，终点 M2 ，M1 M2 a M1M2 则用有向线段或 a 表示 。 线段的长度表示 M1M2 的大小， 称为向量的模,记为 M1M2 或 。 零向量： 单位向量： 共线向量： 相等向量： 自由向量： 模为 1 的向量， 记为 a0 或 M1M20 。 模为 0 的向量, 记为 0, 与始点位置无关的向量， 可保持大小、方向不变进行平移。 又称平移向量， 以下研究的向量均为自由向量。 两向量经过平移可重合(在一条直线上) a / b , 且指向一致 。 向量夹角： s 把其中一向量绕 s 旋转，使其正向 与另一向量的正向重合，这个旋转 的角度 ， 显然， 记作或 若把一条轴 u 看作向量， 类似可定义向量与轴 u 的夹角 或空间两轴 u1, u2 的夹角 注意 ：空间没有顺时针方向与逆时针方向的概念 。 空间无负角; 空间一点 A 在轴 u 上的投影: 过点A 作垂直于轴 u 的平面, 则平面与轴 u 的交点A 称为点A 在轴 u 上的投影。 . A . A u 向量 AB 在轴 u 上的投影: 向量 AB 的起点A与终点B在轴 u 上的投影 为A与B，则AB的数值称为 AB 在轴 u 上的投影 。 u . A . B 取正 ； 取负 。 记作轴 u 称为投影轴 。 定理 1 ： u A. .B 投影定理 u 定理 2 ： 定理 3 ： 2. 向量的坐标表示 在平面直角坐标系中， 点 M1 (x1, y1), M2 (x2, y2) x y 0 M1 (x1, y1) . M2 (x2, y2) . M1M2 x2 x1 为 在 x 轴上的投影(长度)或坐标M1M2 y2 y1 为 在 y 轴上的投影(长度)或坐标y2 y1 为 在 y 轴上的投影(长度)或坐标M1M2 x1x2 y1 y2 M1M2 称为向量 的坐标表达式 ， M1M2 称为向量 的坐标表达式的分解式 。 M1M2 平面两点间的距离 3 . 空间直角坐标系 对空间的向量 , 建立空间直角坐标系 ： 一个原点o , 三个坐标轴 (x, y, z 轴两两垂直) 规定正向： 符合右手法则。 构成三个坐标平面： xoy, yoz, zox 分空间为八个卦限: II III VVIII 空间点 P有序数组 (x, y, z) . p 原点坐标: (0, 0, 0) (x, y, z) x y z 0 I IV VI 卦限： I II III IV 点的 符号: V VI VII VIII 坐标面: xoy yoz zox 点的坐标:(x, y, 0)(o, y, z)(x, 0, z) 坐标轴 : x y z 点的坐标:(x, 0, 0)(0, y, 0) (0, 0, z) x y z 0 在空间直角坐标系中: 向量 M1M2 点 M1 (x1, y1 , z1), M2 (x2, y2, z1) M1(x1, y1, z1) . M2(x2 , y2, z2) . 在 x 轴上的投影为: 在 y 轴上的投影为: 在 z 轴上的投影为: M1M2 = 坐标。 分向量。 数量 向量 x y z 0 方向角 。 方向余弦 。可表示向量的方向。 x y z 0 方向余弦 ：由投影定理， 为方向余弦的 坐标表示式。 满足 ： 特别 ， 向量的始点为原点O ， = x, y, z 称为点 M 的位置向量或点 M 的向径 。 二、向量的运算 1. 加减法： (1) 向量用有向线段表示： 有平行四边形法则与三角形法则。 且满足加法的交换律与结合律。 (2) 向量用坐标表示： 2. 数乘 ( 仍是一向量 ) 0 方向相同 方向相反 满足数乘的结合律与分配律。 (1) 向量用有向线段表示： (2) 向量用坐标表示： 定理： 常用的三个充要条件。 ( ) (1) (2) (3) 若bx, by, bz 均不为0，则 (3) 即为 (2) 。 若bx, by, bz 中有一个或两个为 0 ， 说明 ： 若 bx, by, bz 中有一个或两个为 0 ， 它们的对应坐标必须 同时为0 或同时不为0。 例题讨论 例1 ： 解 ： 由此可知 ， 可表示为它的模(大小) 与其单位向量(方向)的乘积。 向量的单位化 一般， 特别 ， 例2 ： 一向量的起点是 p1 ( 2, -2, 5 ) , 终点是 p2 ( -1, 6, 7 ) ，求： (1) p1p2 的方向余弦；(2) p1p2 的单位向量。 解 ： p1p2 p1p2 (1)p1p2的方向余弦 ： (2)p1p20 例3 ： 求点 M (1, -1, 4) (1) 与原点o 的距离 ； (2) 到 ox 轴的距离； (3) 关于原点、 xoy 平面、ox 轴的对称点。 解 ： (1) (2) x 轴上的点的坐标 ： ( x, 0, 0 ) 空间上 点 ( x, y, z ) 到 x 轴的距离： 点M 到 ox 轴的距离： 关于原点、 xoy 平面、ox 轴的对称点。 求点 M (1, -1, 4) (3) 点 M (1, -1, 4) 为卦限 上的点， VI上的点 ： 关于原点对称的点应为卦限 IIIII IV V VIII x y z 0 I M1( -1, 1, 4 ); 关于xoy 平面的对称点 为卦限VIII上的点： M . M2( 1, -1, - 4 ); 关于ox 轴的对称点 为卦限V上的点： M3( 1, 1, - 4 )。 IV 例4 ： 设M1 (0, 2, 1), M2 (3, 1, 3), M3 (1, -1, 2)， M1M2M2M3 在 x, y, z 轴上的投影 及在 y 轴上的分向量。 解 ： (1) (2) (3)在 x, y, z 轴上的投影分别是 在 y 轴上的分向量是 A B C D E 例5 ： 求证：三角形两边中点的连线平行于 第三边，且长度是第三边的一半。 证 ： 如图作ABC，DE 为 两边中点的连线。 法1：用向量加法： 法2：用向量减法： 得证。 例6 ： 设点 A (x1, y1, z1), B (x2, y2, z2), M 是 AB 连线上的一点 ， 求分AM 与 MB 的比值为定比 ( -1 )的点 M 的坐标。 解： A . B . x y z 0 . M 设点 M ( x, y, z ), 定比分点公式 即为中点公式 例7 ： 以M (2, -1, 7)为起点, 沿向量 a = 8, 9, -12 的方向作一向量 MN, 使| MN | = 34， 求 MN 的坐标表示式 及点 N 的坐标。 M . N 34 解 ： 设点 N ( x, y, z ), = 34 ， N ( 18, 17, -17 ) 课外作业 习题 7 1 1，4，8， 习题 7 2 （A ）1，3，4，5，6，7，9，10 习题 7 2 （B） 2，9 三、 两向量的数量积 向量的数量积与向量积是向量特 有的运算,它们并不是凭空想象出来的, 而是从物理模型中抽象出来的,有它们 各自的实际意义。 例 ： 所作的功 W = . M1 . M2 1 . 定义 ： ( P.302) ，又称为向量的 点积 或 内积。 的乘积，数量积 。 记作 即 说明： 数量积是一个数量（而不是向量）。(1) (2) 数量积的正负取决于 2 . 几何意义 由此又得到投影公式 ： 同理 ， 一个向量的模和另一个向量在这个 向量方向上的投影的乘积。 数量积的几何意义： 3、基本性质及其运算规律： 性质 ： (1) (2) 说明 ： 零向量方向不定, 可省略。 (3) 基本单位向量的正交性 = 1 ， = 0 . (4)运算规律： 交换律 分配律 数乘运算的结合律 注意：(1) 无运算符号， 无意义。 (2)数与向量不可相加， 无意义。 4、 数量积的坐标表示法 由此可得： = = = = 的三个方向角 ， 的三个方向角 ， 显然 ， 例题讨论 例 1 ： 解 ： 无坐标表示形式，用定义计算。 = 28 . 例2：设点 A(1, -2, 3), B(4, -4, -3), C (2, 4, 3), D (8, 6, 6)，求： 解 ： (1) 3, 6, 2, 3 (2) 3, A(1, -2, 3) B(4, -4, -3)C (2, 4, 3) 例3 ： 解 ： = ？ = 0 例4： 试用向量证明：菱形的对角线互相垂直。 证 ： 如图作菱形： A B C D 菱形相邻两边长相等 ， 课外作业 习题 7 3（A） 2，3，4，5，6，8，9，10 二、两向量的向量积 向量积是两个向量的又一种乘积 ， 也是向量特有的运算, 也有其物理模型： 设 O 为杠杆 L 的支点， L 有一个力 F 作用 于杆上 P 点， P O 则力 F 对支点 O 所产生 的力矩为一向量 M， H 其大小等于O点到 F 的距离 OH 与力 F 的大小的乘积 。 在实际中是非常有用的。 即右手四指从 OP 握向 F 时,大拇指的指向 为 M 的正向。 显然，力矩向量 M 由 F 与 OP 完全确定。 这样有两个向量来确定另一个向量的法则 F p 1、定义：( P. 305 ) 按下列条件确定新向量 c : (1) (2) (3) 向量积， 记作, 又称为向量的 叉积 或 外积。 按“右手法则”垂直于 所在平面的 单位向量。 2、几何意义： (1) 向量积 平行四边形的面积。 显然 ， (2) c 按“右手法则” 垂直于 所在平面， 若一向量 c 同时垂直 a 与 b ， 则必有： (3) 3、 性质与运算规律： 性质： (1)= 0 (2) 零向量方向不定, 可省略。 (3) 基本单位向量的向量积 ： 运算规律：( P. 306 ) (1) 不满足交换律 (2) 满足分配律 (3) 满足数乘的结合律 4、向量积的坐标表示法 ( P. 306-307 ) 两向量 平行 ( 共线 ) 的充要条件是 对应坐标成比例。 补充：有关行列式的计算 法 1 ： 法 2 ： 行列式的有关性质： 例题讨论 例1： (4) 以 a, b 为邻边的平行四边形的面积 S 。 解 ： (1) 1 0 -1 -1 -2 1 0 1 (2) 例2 : 已知三角形ABC的顶点坐标为 A ( 1, 2, 0 ), B ( 3, 0, -3 ), C ( 5, 2, 6 )， 求此三角形的面积, AB上的高及 A的正弦。 解 ： A B C 或 A B C 求 AB上的高及 A的正弦。 AB上的高 h h = 14 ， 例3 ： 解 ： = 0 例4 ： 求证：A , B, D 共线 。 证 ： 分析 ： ABD C 即 A , B, D 共线 。 课外作业 习题 7 3（A） 11，12，13（2，3） (并求夹角正弦与余弦) 15，16（2） 习题 7 3（B