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第二章 极限 2 函数极限 2.1自变量趋向有限值时函数的极限 1、定义： 2.几何解释: 例2 例3 例3 证 3.单侧极限: 例如, v单侧极限 e 0 d 0 当x0dxx0 有|f(x)A|0 d 0 当 0|xx0|d 有|f(x)A|e 若当xx0时 f(x)无限接近于某常数A 则常数A叫 做函数f(x)当xx0时的左极限 记为 或f(x0)=A . 例7 播放 2.2 自变量趋向无穷大时函数的极限 1、定义： 2、另两种情形: 3、几何解释: 2.3 函数极限的性质 1.有界性 2.唯一性 定理1(保号性) 定理2 3.不等式性质 推论 推论 4.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系) 定义 定理 例如, 函数极限与数列极限的关系 函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极 限都存在,且相等. 例7 (1) 定义: 极限为零的变量称为无穷小. 2.4 无穷小量与无穷大量 1. 无穷小 例如, 注意 （1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆; （2）零是可以作为无穷小的唯一的数. (2) 无穷小与函数极限的关系: 证 必要性 充分性 (3) 无穷小的运算性质: 定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是 无穷小. 注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘 积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. (4) 无穷小的比较 例如, 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同. 不可比. 观察各极限 定义: 两个重要极限式 例1 解 例 解 (5) 等价无穷小代换 定理(等价无穷小代换定理) 例 解 若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则 可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无 穷小代换，而不会改变原式的极限 不能滥用等价无穷小代换. 切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换， 对于代数和中各无穷小不能分别代换. 注意 例 例 解 解 错 2. 无穷大 绝对值无限增大的变量称为无穷大. 3. 无穷小与无穷大的关系 定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 2.5 极限运算法则 定理 推论1 常数因子可以提到极限记号外面. 推论2 求极限方法举例 例1 Ex: 解 (无穷小因子分出法) 一、极限存在准则 1.夹逼准则 2.6 极限存在准则与两个重要极限 准则 和准则 称为夹逼准则. 2.单调有界准则 单调增加 单调减少 单调数列 几何解释: 二、两个重要极限 (1) (2) 定义 等价无穷小 一、自变量趋向无穷大时函数的极限 一、自变量趋向无穷大时函数的极限 一、自变量趋向无穷大时函数的极限 一、自变量趋向无穷大时函数的极限 一、自变量趋向无穷大时函数的极限 一、自变
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