D14无穷小量与无穷大量.ppt

目录 上页 下页 返回 结束 Henan Polytechnic University 第一章 二、 无穷小的等价代换 三 、无穷大量 一、 无穷小量及其阶 第四节 无穷小量与无穷大量 目录 上页 下页 返回 结束 Henan Polytechnic University 当 定义1 . 若时, 函数则称函数 例如 : 函数 当时为无穷小; 函数 时为无穷小; 函数 当 为 时的无穷小量,简称无穷小 . 时为无穷小. 一、 无穷小量及其阶 目录 上页 下页 返回 结束 Henan Polytechnic University 定义1 . 若时, 函数则称函数 为 时的无穷小量,简称无穷小 . 以零为极限的数列也是当n时的无穷小 目录 上页 下页 返回 结束 Henan Polytechnic University 定义1 . 若时, 函数则称函数 为 时的无穷小量,简称无穷小 . 说明: 除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 ! 因为 当时, 显然 C 只能是 0 ! C C 注意: 函数是否为无穷小与自变量的变化趋势有关 ! 目录 上页 下页 返回 结束 Henan Polytechnic University 其中(x) 为一个无穷小 定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 ) 证:仅就 的情形证明,其他情形类似. 必要性 设,则 令则 其中(x) 是当 的 无穷小,并且 充分性 设,(x) 是当 的无穷小 则 目录 上页 下页 返回 结束 Henan Polytechnic University (1)有限个无穷小量的代数和是无穷小量; 定理 2. 自变量相同变化趋势的无穷小量有如下性质: 证:由已知, f在x0处是局部有界的,故 (2)有限个无穷小量的乘积是无穷小量; 恒有从而 故 所以(x) f(x) 是当 时的无穷小. (x) 是当 的无穷小,定理 3. 设 f是在x0处局部 有界的函数,则(x) f(x) 是当 时的无穷小. 目录 上页 下页 返回 结束 Henan Polytechnic University (1)有限个无穷小量的代数和是无穷小量; (2)有限个无穷小量的乘积是无穷小量; (x) 是当 的无穷小,定理 3. 设 f是在x0处局部 有界的函数,则(x) f(x) 是当 时的无穷小. (x) 是当 的无穷小,定理. 设 f是在 内 有界(即 ) 则(x) f(x) 是当 时的无穷小. 定理 2. 自变量相同变化趋势的无穷小量有如下性质: 目录 上页 下页 返回 结束 Henan Polytechnic University 设(x)与(x)是自变量x有相同变化趋势的无穷小,且 (x) 0. 定义2(无穷小的阶). 则称(x)是(x)的高阶无穷小,记作 (或当(x) 0时,称(x)是(x)的低阶无穷小) 且c 0为常数, 称(x)与(x)是同阶 无穷小; 则称(x)与(x)是等价无穷小,记作 目录 上页 下页 返回 结束 Henan Polytechnic University 则称(x)是关于(x)的k阶无穷小,特别取(x)=x-x0, 若 则称(x)是当xx0时的k阶无穷小. 例1. 当x0时,试比较下列无穷小的阶: 目录 上页 下页 返回 结束 Henan Polytechnic University 解 : 解 : 目录 上页 下页 返回 结束 Henan Polytechnic University 解 : 解 : 目录 上页 下页 返回 结束 Henan Polytechnic University 由上例中(2)(3)(4)可得,当x0时, 根据高阶无穷小的定义,上式还可以表示为: 当x0时, 注意: 并非每个无穷小都有阶数, 比如当x0时, 目录 上页 下页 返回 结束 Henan Polytechnic University 例2. 证明:当时, 证: 目录 上页 下页 返回 结束 Henan Polytechnic University 证明提示: 二、 无穷小的等价代换 定理4 . 设(x)与(x), 都是自变量有相同 变化趋势的无穷小,若 并且 则并且 目录 上页 下页 返回 结束 Henan Polytechnic University 例3. 利用无穷小等价代换定理求以下极限 解: 因为 所以 目录 上页 下页 返回 结束 Henan Polytechnic University (2) 解: 原式 注意: 应用无穷小等价代换定理求极限时,只能对待 求极限函数中的无穷小因子进行.若待求极限的函数 表达式中含有函数的加减法运算,则不能对其中的相 加与相减的无穷小项进行等价代换. 目录 上页 下页 返回 结束 Henan Polytechnic University (3) 解: 目录 上页 下页 返回 结束 Henan Polytechnic University 三、 无穷大量(绝对值无限趋大的变量) 定义3 . 设是一个函数,若 即 当 则称函数f(x)是当 时的无穷大量,简称无穷大 . 时,恒有 定义3 . 设是一个函数,若 即 当 则称函数f(x)是当 时的无穷大量,简称无穷大 . 时,恒有 若在定义中改为 则记作 目录 上页 下页 返回 结束 Henan Polytechnic University 注意: 1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态. 2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 ! 例如, 函数 但 不是无穷大 ! 目录 上页 下页 返回 结束 Henan Polytechnic University 例4 . 证明 证: 任给正数 M ,要使 即 只要取则对满足的一切 x , 有 所以 若 则直线 为曲线 的铅直渐近线 . 铅直渐近线 说明: 目录 上页 下页 返回 结束 Henan Polytechnic University 若 则称直线为曲线 的水平渐近线 .如下图 目录 上页 下页 返回 结束 Henan Polytechnic University 若为无穷小, 且 则为无穷大. 若为无穷大,为无穷小 ;则 据此定理(1) , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论. 定理5. 在自变量的相同变化趋势下,有下述结论: 说明: (1) (2)有限个无穷大量的乘积是无穷大量; 1. (3) 无穷大量与有界量之和是无穷大量. 目录 上页 下页 返回 结束 Henan Polytechnic University 两个无穷大量的代数和不一定是无穷大量; 无穷大量与有界量的乘积不一定是无穷大量. 注意: