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目录 上页 下页 返回 结束 第十节 一、最值定理 二、介值定理 *三、一致连续性 闭区间上连续函数的性质 第一章 目录 上页 下页 返回 结束 注意: 若函数在开区间上连续, 结论不一定成立 . 一、最值定理 定理1.在闭区间上连续的函数 即: 设 则使 值和最小值. 或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最大 (证明略) 点 , 目录 上页 下页 返回 结束 例如, 无最大值和最小值 也无最大值和最小值 又如, 目录 上页 下页 返回 结束 二、介值定理 由定理 1 可知有证: 设 上有界 . 定理2. ( 零点定理 ) 至少有一点且 使 ( 证明略 ) 推论 在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 目录 上页 下页 返回 结束 定理3. ( 介值定理 ) 设 且 则对 A 与 B 之间的任一数 C , 一点 证: 作辅助函数 则 且 故由零点定理知, 至少有一点使 即 推论: 在闭区间上的连续函数 使 至少有 必取得介于最小值与 最大值之间的任何值 . 目录 上页 下页 返回 结束 例. 证明方程 一个根 . 证: 显然又 故据零点定理, 至少存在一点使即 说明: 内必有方程的根 ; 取的中点 内必有方程的根 ;可用此法求近似根. 二分法 在区间内至少有 则 则 内容小结 目录 上页 下页 返回 结束 *三. 一致连续性 已知函数在区间 I 上连续, 即: 一般情形,就引出 了一致连续的概念 . 定义:对任意的 都有 在 I 上一致连续 . 显然: 目录 上页 下页 返回 结束 例如,但不一致连续 . 因为取点 则 可以任意小 但 这说明在( 0 , 1 上不一致连续 . 定理4. 上一致连续. (证明略) 思考: P74 题 *7 提示:设存在, 作辅助函数 显然 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 在 上达到最大值与最小值; 上可取最大与最小值之间的任何值; 4. 当时,使必存在 上有界; 在 在 目录 上页 下页 返回 结束 1. 任给一张面积为 A 的纸片(如图), 证明必可将它 思考与练习 一刀剪为面积相等的两片. 提示: 建立坐标系如图. 则面积函数 因 故由介值定理可知: 目录 上页 下页 返回 结束 则 证明至少存在 使 提示: 令 则易证 2. 设 作业 P74 (习题110） 2 ; 3; 5 一点 习题课 目录 上页 下页 返回 结束 备用题 至少有一个不
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