三重积分练习题

精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 1 / 36 三重积分练习题 第六讲 三重积分、重积分应用习题课 教学目的 使学生能更清楚进行三重积分计算时在何种情况下用何种坐标计算，以便灵活 的进行三重积分的计算使学生能方便地运用重积分进行曲面的面积，质心，转动恒量以及引力的计算 教学重点 通过三重积分计算的强化使学生明确在三重积分计算时如何确定用何种坐标以及 各是如何化为三次积分 教学难点 柱面坐标与球面坐标所适用情况的区分与判定 . 教学时数学时 教学过程 一、知识回顾 1三重积分的意义及物理模型在直角坐标，柱面坐标，球面坐标下计算三重积分 柱面坐标与球面坐标 . 柱面坐标，球面坐标分别与直角坐标之关系 . 直角坐标化柱面坐标，球面坐标的公式 . 何时用何种坐标计算 . 3曲面的面积，物体的质心，转动惯量及引力的计算 曲面的面积：关键在找曲面在坐标面的投影，这里问题是 往何坐标面上投 如何找投影区域 物理应用，注意利用密度为常数以及物体所占区域在坐标面上的对称性 . 二、练习 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 2 / 36 1将 I= ? 分别表示成直角坐标，柱面坐标和球面坐标下 的三次积分，并选择其中一种计算出结果其中 ?是由曲面 z= 2?x?y 2 2 及 z=x+ 22 分析 为计算该三重积分，我们先把积分区域投影到某坐标 平面上，由于是由两张曲面 z? 2?x?y 22 及 z?x?y，而由这两个方程所组成的方 22 ?z?z?程组 极易消去 z，我们把它投影到 上然后，为在指定的坐标 系下计算之，还应该先把 ?的边界曲面用相应的坐标表示，并找出各种坐标系下各个变量的取值范围，最后作代换精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 3 / 36 即可 ?z?22222z?解 将 ?投影到 由消去 z 得 =2-， 或 =0，于是有 x+y=1即知， ?在 ： 22 x+y?1 222222 为此在 D 内任取一点 Q，过 Q 作平行于 z 轴的直线自下而上穿过 ?穿入时碰 22 到的曲面为 z?x?y，离开时碰到的曲面为 z? 2?x?y 22 ，这是因为 x2+) 22 直角坐标系下，我们分直角坐标及柱面坐标，下边找z 的变化范围从而化为三重积 22 22 分因此再由 D： x+y?1，有 z?x?y?z? 2?x?y 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 4 / 36 22 ，于是在直角坐标下， ? 可表示为 ?， ?y?x2?y2?z? ? : 于是有 1 ?x 2 2?x?y 22 I=?1 柱面坐标下 ?1?x 2 x?y 2 ? . 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 5 / 36 22 首先把 ?的表面方程用柱面坐标表示，这时 z=x+y 表示为 z= ?， z= 2 2 2?x?y 22 表示为 z=2?表示为 22 再由投影区域 D 为 x+y?1故 0?1， 0?2? 于是 ?可 ?0?2?,? ?0?1,?2 2 ?z?2?.?： ? 将所给三重积分中的体积元素 d?用 d?=?d?d?替换，有 2? 1 2? 2 I= 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 6 / 36 球面坐标下 ? ? = ? z?d?d? = ?d? ?d? ? ? 2 2 用球面坐标代换两曲面的方程，得曲面 z=?x?y 2 2 2 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 7 / 36 +y 2 变为 ?=曲面 2 变为 ?=2 22 由 ?在 x+y?1知 0?2?，下边找 ?的变化范围 ? ? 22 正 z 轴在 ?内，即 ?内有点 P，使 角为零，即 ?的下界为零又曲面 z=x+y ? 与 ?的上界为 2，于是 0?2 再找 ?的变化范围 原点在 ?的表面上，故 ?取到最小值为零 为找 ?的上界，从原点出发作射线穿过 ?，由于 ?的表面由两张曲面所组成，因而 ? 22 ?z?x?y， ?22z?2?x?y?的上界随相应的的不同而不同为此在两曲面的交线上取一点 A，故 A 所对应的 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 8 / 36 ? ? ? ? 4 ? 2 当 4 2 时， r 的上界由曲面 r=给，故这时 r ? 2 ?即 r 的变化范围为 ? 2,当 0?时， ?4 ?r? ?当 ?时。 ?42?0 因此 ? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 9 / 36 2? 4 2 2? 2 ? 2 ? ?d? ?d? ?d? ? ?d? 4 ? I= 由 ?的特点，故采用柱面坐标 计算比较简单，这时 2? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 10 / 36 1 2?r 2 I= ?d? ?r 2 ?12 d?r?z? ?20=0 2?1 2? 2 ?77 ?=2?24=12? 小结 计算三重积分时，欲用何种坐标，就要首先把积分区域的表面方程化成用该坐标表示，同时把被积函数中的变量与体积元素替换为该坐标下的形式 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 11 / 36 将区域 ?向坐标平面作投影时，应考虑向哪个坐标平面更简单 不要认为当积分区域为球体的一部分就应采用球面坐标球面坐标所适用的积分区域一般为球，两球面所围的区域，或这两种区域被圆锥所截得的部分本题是由旋转抛物面与球面所围成的区域，一般是不宜用球面坐标的 2计算三重积分 2 2 ?z ? x?y?222 ，其中 ?是由曲面 x 2 +y 2 + 及 z=3所围成的区域 分析 ?为球面和圆锥面所围成的区域故从积分区域的特点看，它适宜用球面坐标同时，被积函数中含有因式x+y+从积分区域与被积函数两方面来看，应选用球面精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 12 / 36 坐标 解 在球面坐标下，球面 x+y+z=1 的方程为 r=1，锥面 z=3的方程为 2 2 2 22 22 3 3，即 ? ? 6，又 z 轴的正向穿过 ?故 ?的下界为零，因此 0 ? ? 6 222?x?y?z?1, 1?22 22?z?3 将 ?投影到 ，由方程组 ? 消去 z 得 x+y=4因此 0?2?该锥体的顶点在原点，故 r 下界为零，由穿精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 13 / 36 线法可知 r?1,故 0?r?1. 于是 ? 2? 6 ? ? Zx?y?22 = ? ? d? 4 = ?12 ? ?d?d? 1 =2? 品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 14 / 36 2 ?6r0? s 1 20 小结 当积分区域为由球面与锥角 ?0 所围成的球锥体时若锥题的顶点为原点，且 Z 轴正向穿过积分区域，则有 0?0，且 r 的下界为零，上界由球面的方程所给出 3计算 ? ? 22 其中 ?是由 面上的曲线 y=2x 绕 x 轴旋转而成的曲面 2 与平面 x=5所围成的闭区域 分析 由第七章的知识知， ?为由旋转抛物面 2x=y?z 与平面 x=5所围成遵循上题的小结 2 所说的原则由于从两方精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 15 / 36 程要消去 x,我们将它投影到 面，不难求出，投影区域为圆域，再由于积分区域与球体无关，故采用柱面坐标，这时要注意把 y,z 用极坐标代换 还应注意积分区域关于平面 y=0,z=0 皆对称，且被积函数关于 y,此还应利用积分区域关于坐标平面的对称性与被积函数关于某相应变量的奇偶性先进行化简 解 曲线 y=2x 或 x=2 绕 x 轴旋转得的旋转抛物面方程为 x=2,故 ?由抛 2 2 2 22 y 2 1 1 物面 x=2与 z=0所围成 由于被积函数分别是 y 和 z 的偶函数，而积分区域关于平面 y=0及 z=0 都对称，因此 22 ? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 16 / 36 ? 2 =4 ? ? , 2 ，其中 ?为 ?在第一卦限内的部分 , 由 1?22 x?,? 2? ?x?5? , 知， ?在 面上的投影为 y?z?10 ?在 面上 22 ? 0?,?2? ?0?,?2r?x?5.? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 17 / 36 的投影为 面上第一象限内的个圆，因此有 ?： ?2 于是 2 2 ? 4 ? ?, 22 ? 4?p ?d?d? ? , = )?d? 3 4?2d? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 18 / 36 0? ?d? 3 5 2 =2 ? ? 2 当被积函数关于某坐标平面对称，同时被积函数是相应变量的奇或偶函数时，应首先将所给积分化简， 其原则为 ?关于平面 Z=0对称， f 关于 z 是奇函数时，积分 三重积分练习题 1 计算 I? ? 由抛物柱面 y?，平面 y?0,z?0,x?z? ? ? 2 所围区域。 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 19 / 36 2 计算 I?3 计算 I? 区域。 ? ， ?为由 x2?y2?1 和 z?） 0 4 已知 f 连续，F?z2?f?:0?z?h,x2?y2?： ? F 。 t?0t 设 ?为平面 ?1 与三个坐标平面围成的四面体区域，求 ?和 若又设 a?b?c?h 为定值，问 a,b,c 怎样取值时，? ? 最大，并求此最大值。 41536 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 20 / 36 6 将 I? ? ? 中 ?:x2?y2?, x?0,y?0。 7 设 f 具有连续导数，求 t?0?t4 x2?y2?z2? ，若 2 y?2z 绕 z 轴旋转一周形成的曲面 8 计算I?中 ?为平面曲线 x?0 22 ? ? 与平面 z?8所围成的区域。 9 计算 I? ，其中 ? 为 y?,x2?,y?1 之间。 ? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 21 / 36 10设 ?|x?y?z?1,x?y?z?0，计算三重积分： 222 ?3 I?x?y?z3?x?y?z? 11求 I? ?由 x ? 2 ?y2?z?h 所围立体。 12计算下 列三重积分 ?中 ?为 x2?y2?。 22 1?x?y?z? I?I? ?e? 2 ?y2?由 1?x2?y2?,x?0,y?0,z?0 所围 222 ?:x?y?z?1。 ? x 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 22 / 36 10解：分析 本题中被积函数比较复杂，而积分区域具有关于 x,y,以可以利用积分值与积分变量名 称无关这一特点进行计算。 为 ?3?3?333333 x?y?zx?y?zx?y?z? 所以 式 =?3?2?3?333333 x?y?zx?y?zx?y?z? 1?为 ?33333333 ?3?x?y?z?3?x?y?z?3?x?y?z 所以 1?式 =?2?3?3?x?y?z?3?x?y?z?3?x?y?z 1?33333333 ?3?x?y?z?3?x?y?z?3?x?y?z?4=2?V?33 33?x?y?z? 12解： I? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 23 / 36 ? ? d? 1?r 2?0 = ? ?0 d?d? 10 ?01?r I? ? ? ?d? 2 ?2d?2d?e?r?精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 24 / 36 1 2 ? 4e 3 3 由对称性，知 I?2 x2?y2? ?d? z ? 2?0 d?2? 1 9?3 1? 化三重积分 I?三次积分 ? 其中积分区域 ?分别是 ? ? 由双曲抛物面 xy?z 及平面 x?y?1?0? z?0 所围成的闭区域 ?解 积分区域可表示为 ?| 0?z?0?y?1?x? 0?x?1? 于是 I?精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 25 / 36 01 1?dy?曲面 z?x?z?1所围成的闭区域 ? 解 积分区域可表示为 ?|x2?y2?z?1, ?x2?y?1?x?1? 于是 I?11 ?x 22 2 1 x?y2 由曲面 z?x?2y 及 z?2?围成的闭区域 ? 解 曲积分区域可表示为 ?|y2?z?2?x2?y?1?x?1? 于是 I?11 ?品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 26 / 36 22 2?x2 x?2y2 提示 ? 曲面 z?x?2y 与 z?2?交线在 上的投影曲线为 x2+? x2? 由曲 面 cz? z?0所围成的在第一卦限内的闭区域 ? 曲积分区域可表示为 ?|0?z?, 0?y?b2?0?x?a? I?0a x2 提示 ? 区域 ?的上边界曲面为曲面 cz? 下边界曲面为平面 z?0? 2? 设有一物体 ? 占有空间闭区域 ?|0?x?1? 0?y?1? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 27 / 36 0?z?1? 在点处的密度为 ?x?y?z? 计算该物体的质量 ? 解 M?dx?dy?dx?2?3? 0200222 3? 如果三重积分 ?被积函数 f 是三个函数 ? 即 f? f1?f2?积分区域 ?|a?x?b? c?y?d? l?z?m? 证明这个三重积分等于三个单积分的乘积 ? 即 ? a c l 明 ?dy ?f2?dy?dx 品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 28 / 36 l a l c ?dz)dy)f1dx?dz)a l c l c a ?a c l ? 计算 ?其中 ?是由曲面 z?与平面 y?x? x?1 和 z?0所围 ? 成的闭区域 ? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 29 / 36 解 积分区域可表示为 ?| 0?z?0?y?x? 0?x?1? 于是 ?0 23 1x 2 3 1x 401? 040280364 5? 计算 ? ? 其中 ?为平面 x?0? y?0? z?0? x?y?z?1 所围成的四 面体 ? 解 积分区域可表示为 ?| 0?z?1?x?y? 0?y?1?x? 0?x?1? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 30 / 36 11?x1?x?dx?dy?是 ?3000? 1 1?x ? 111?3?1x?028828 ? 11?x1?x?示 ? ?3?3000? 1 1?x 11?x?y dy?0?0?0228?22 1 258 ? 1 111?3?1xx ?1y10?0288?28 15 ?1x?10 ?81628 6? 计算 ?其中 ?为球面 x2?y2? 及精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 31 / 36 三个坐标面所围成的在 ? 第一卦限内的闭区域 ? 解 积分区域可表示为 ?|0?z?x2?0?y?0?x?1 于是 ?0 ? 1?x2 ?x2?y2 z ?1? 08248 7? 计算 ?其中 ?是由平面 z?0? z?y? y?1以及抛物柱面 y? ? 围成的闭区域 ? 解 积分区域可表示为 ?| 0?z?y? x2?y?1? ?1?x?1? 于是 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 32 / 36 dy?1?11 1 y 11 ?1? ?1 1 8? 计算 ?其中 ?是由锥面 z?平面 z?R?围成的闭 区域 ? 解 当 0?z? 过作平行于 截得立体 ?的截面为圆 2 于是 x2?z)2? 故 z? 面积为 ?2?0?h? h ?0 h 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 33 / 36 22 9? 利用