D3-6函数图形的描绘,D3-7曲率.ppt

纠正作业纠正作业 P153T5(5) 1 2. 连续函数的极值的求法 (1) 极值可疑点 : 使一阶导数为0 或不存在的点x. (2) 第一充分条件: (3) 第二充分条件: 温故知新： 1. 可导函数单调性判别 在 I 上单调递增 在 I 上单调递减 定理1： 2 3. 连续函数的最值的求法 特别: 当 求 就是最大(小)值. 如果在区间 内可导且只有一个极值点,则这个极大(小)值 (2) 3 4.曲线凹凸的判别 定理2： 5.求拐点方法: (1) (2)第一判别法: (3)第二判别法: 4 第六节 一、 曲线的渐近线 二、 函数图形的描绘 函数图形的描绘 第三章 5 无渐近线 . 某一直线 L 的距离趋于 0, 一、 曲线的渐近线 1.定义 . 若曲线 C上的点P沿着曲线无限地远离原点时,点P与 则称直线 L 为曲线C 的渐近线 . 例如, 双曲线 有渐近线 但抛物线 或为“纵坐标的差” “横坐标的差 6 2.需掌握的几类渐近线： 1)水平渐近线: 2)垂直渐近线: 3)斜渐近线: 易知:在同一个方向上若有水平渐近线就不会有斜渐近线. 7 例1. 解: 求的渐近线. 所以有铅直渐近线 且 则有斜渐近线 所以它没有水平渐近线; 8 步骤 : 1. 确定函数的定义域 , 2. 求并求出 3. 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ; 4. 求渐近线 ; 5. 确定某些特殊点(如与坐标轴的交点) , 描绘函数图形 . 为 0 和不存在的点 ; 并考察其对称性及周期性 ; 函数图形的描绘需综合研究函数性态,是导数应用的综合. 二、函数图形的描绘 9 例2. 解:非奇非偶函数,且无对称性. 10 列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点: 不存在 拐点 极小 间断 11 作图 拐点 极小值 间 断 点 渐近线： 12 . 在区间 上是凸弧 ; 拐点为 在区间 上是凹弧; 则函数 f (x) 的图形的图形如图所示, 例3. 例4. 设函数 在 内连续,其导函数的图形 如图所示,则 有 (A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点. (D) 三个极小值点和一个极大值点. 13 1. 曲线 (A) 没有渐近线； (B) 仅有水平渐近线； (C) 仅有铅直渐近线； (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线. 提示: 练习： (12数学一，二，三) 思考与练习 14 在工程技术问题中，有时需要研究曲线 的弯曲程度，如：桥梁在荷载作用下会产生 弯曲程度，因此在设计房屋、桥梁等建筑结 构时，都要考虑所允许的弯曲程度，否则会 造成质量事故；又如：在公路、铁路的转弯 处，为使车辆平稳地转入弯道，需考虑道路 的弯曲程度-曲率 请读下面文字： 第七节 一、 弧微分 二、 曲率及其计算公式 三、 曲率圆与曲率半径 曲率 15 一、弧长函数及其微分 1.光滑曲线： 内具有一阶连续导数(连续转动的 s取正号， 否则,s取负号. 显然：弧长函数是单调增加函数. 方向与曲线正向一致时， 规定： 曲线正向是指依x增大的方向. （2）在上述规定下，就确定了一个弧长函数 2.弧长函数 大小等于的长度， 切线),则称曲线 为光滑曲线 . 的值s规定如下：（1）光滑曲线上有向弧 16 3.弧微分-弧长 函数的微分 则对应曲线上的点 弧s的增量为则 因为 是单调增加函数 于是弧微分为 弧微分公式 17 则有 dy dx ds 4.弧微分的几何意义： 就是曲线上点处的切线上的长度. 所以称为微分三角形. ds 18 二、曲率及其计算公式 曲率:是描述曲线局部性质(弯曲程度)的量 ) ) 1.影响曲线弯曲程度的因素： (1)切线转角的大小.(单位弧长转角大的弯曲的很) (2)弧的长度.(转角一定,弧短的弯曲的很) . ) 19 2.曲率的定义： (1)平均曲率： (2)曲线在点M处的曲率： 单位弧段上切线转角的大小. ) y xo 当时， 平均曲率的极限叫做该曲线在点M处 即 的曲率. 则存在，若 即 曲率是切线的倾角对弧长的导数的绝对值. 20 3.曲率的计算公式 对于弧 确定了两个函数: 故曲率 y xo 说明: (1)公式中的是函数 的一阶,二阶导数； (2) 拐点处的曲率为零. (3)直线上任一点处的曲率为零. 直线的曲率处处为零. 21 例1. 求 在点处的曲率. 解: 又 说明:若曲线由参数方程给出, 则曲率公式也适用 . 22 例2. 计算圆上任一点处的曲率. 解: 说明: 圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径越小曲率越大. 23 例3. 解: 显然, 有曲率近似计算公式 P173例2 24 了解：我国铁路常用立方抛物线作缓和曲线, 处的曲率.求此缓和曲线在其两个端点 且 l R. 其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度, 说明: 铁路转弯时为保证行车 平稳安全, 离心力必须 连续变化 , 因此铁道的 曲率应连续变化 . 25 三、 曲率圆与曲率半径 1.定义：设 M 为曲线 C 上任一点 , 在点 在曲线 把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的 曲率圆 ( 密切圆 ) , R 叫做曲率半径, D 叫做曲率中心. 2.点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系: (1) 有公切线;(2) 凹向一致;(3) 曲率相同 . M 处作曲线的切线和法线, 的凹向一侧法线上取点 D 使 26 (1)曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数 . 3.曲率与曲率半径的关系: (2)曲线上一点处的曲率半径越大, 曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧 曲率半径越小,曲率越大(曲线越弯曲). 曲线在该点处的曲率越小(曲线越平坦); (称为曲线在该点附近的二次近似). 即 说明：研究曲率圆的意义-近似计算 27 例4. 设一工件内表面的截痕为 , 现要用砂轮磨削其 内表面 , 问选择直径多大的砂轮比较合适? 解:由例3可知, 抛物线在顶点处的曲率最大， 此时曲率半径最小 . 在(0,0)处 这时 显然, 砂轮半径不超过 时， 才不会产生过量磨损 , 或有的地