D1212正项级数及审敛法.ppt

二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛 第一节 一、正项级数及其审敛法 正项和变号级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十二章 一、正项级数及其审敛法 若 定理 1. 正项级数收敛部分和序列 有界 . 若 收敛 , 部分和数列 有界, 故 从而又已知 故有界. 则称为正项级数 . 单调递增, 收敛 , 也收敛. 证: “ ” “ ” 机动 目录 上页 下页 返回 结束 都有 定理2 (比较审敛法) 设 且存在对一切有 (1) 若强级数则弱级数 (2) 若弱级数则强级数 证: 设对一切 则有 收敛 ,也收敛 ; 发散 ,也发散 . 分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有 是两个正项级数, (常数 k 0 ), 因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 若强级数则有 因此对一切有 由定理 1 可知, 则有(2) 若弱级数 因此 这说明强级数也发散 . 也收敛 . 发散, 收敛, 弱级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 讨论 p 级数(常数 p 0) 的敛散性. 解: 1) 若因为对一切 而调和级数由比较审敛法可知 p 级数 发散 . 发散 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 因为当故 考虑强级数的部分和 故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 . 时, 2) 若 机动 目录 上页 下页 返回 结束 调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数. 若存在对一切 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明级数发散 . 证: 例2. 而发散 所以原级数发散。 判定级数的敛散性 . 证: 是收敛的等比级数, 例3. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 根据级数收敛的必要条件知 判定级数的敛散性 . 证: 又因为 例4. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 根据比较判别法知 即收敛 定理3. (比较审敛法的极限形式) 则有 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0 (3) 当 l = 证: 据极限定义, 设两正项级数 满足 (1) 当 0 l 时, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由定理 2 可知 同时收敛或同时发散 ; (3) 当l = 时,即 由定理2可知, 若发散 , (1) 当0 l 时, (2) 当l = 0时,由定理2 知 收敛 , 若 机动 目录 上页 下页 返回 结束 是两个正项级数, (1) 当 时, 两个级数同时收敛或发散 ; 特别取 可得如下结论 :对正项级数 (2) 当 且 收敛时, (3) 当 且 发散时, 也收敛 ; 也发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 比阶判别法. 的敛散性. 例5. 判别级数的敛散性 . 解: 根据比较审敛法的极限形式知 例6. 判别级数 解: 根据比较审敛法的极限形式知 机动 目录 上页 下页 返回 结束 判定级数的敛散性 . 证: 例7. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 原级数与 p 级数有相同的敛散性。 判定级数的敛散性 . 证: 例8. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 应用泰勒中值定理 通项 定理4 . 比值审敛法 ( Dalembert 判别法) 设 为正项级数, 且则 (1) 当 (2) 当 证: (1) 收敛 , 时, 级数收敛 ; 或时, 级数发散 . 由比较审敛法可知 机动 目录 上页 下页 返回 结束 因此所以级数发散. 时 (2) 当 说明: 当时,级数可能收敛也可能发散 . 例如, p 级数 但 级数收敛 ; 级数发散 . 从而 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例9. 讨论级数的敛散性 . 解: 利用达兰贝尔比值判别法 级数收敛 ; 机动 目录 上页 下页 返回 结束 级数发散 ; 通项不趋于零，级数发散。 判定的敛散性 . 解一: 例 10. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 级数收敛 ; 级数收敛 ; 级数收敛 ; 判定的敛散性 . 解二: 例 10. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 所以级数收敛 ; 级数收敛 ; 即公比小于1的等比级数 ，所以级数收敛 ; 对任意给定的正数 定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法) 设 为正项级 则 证明提示: 即 分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确. 数, 且 机动 目录 上页 下页 返回 结束 时 , 级数可能收敛也可能发散 . 例如 , p 级数 说明 : 但 级数收敛 ; 级数发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例11. 审敛： 解: 由定理5可知该级数收敛 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由定理5可知该级数收敛 . 由定理5可知该级数收敛 . 定理6. 积分审敛法： 设 在区间 证明提示: 单调减， 机动 目录 上页 下页 返回 结束 上非负且 则级数收敛的充 要条件是收敛。 当有 故 对k求和，得 则 广义积分 例12. 判定级数的敛散性。 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 发散 二 、交错级数及其审敛法 则各项符号正负相间的级数 称为交错级数 . 定理6 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件: 则级数收敛 , 且其和 其余项满足 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: 是单调递增有界数列, 又 故级数收敛于S, 且 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 收敛 收敛 用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性: 收敛 上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ? 发散收敛收敛 机动 目录 上页 下页 返回 结束 判定级数的敛散性 . 解: 例 14. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 因此 为交错级数， 注意 ： 发散. 设则级数（ ）。例15. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 （A） 提示 ： （B） （C） （D） 原级数收敛； C 据莱布尼茨判别法， 三、绝对收敛与条件收敛 定义: 对任意项级数若 若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级 收敛 , 数 为条件收敛 ; 均为绝对收敛. 例如 ： 绝对收敛 ； 则称原级 数 条件收敛 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 本身收敛乎？ 定理7. 绝对收敛的级数一定收敛 . 证: 设 根据比较审敛法显然收敛, 收敛 也收敛，证毕 。 且 收敛 , 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例16. 证明下列级数绝对收敛 : 证: (1) 而收敛 , 收敛 因此绝对收敛 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 令 因此收敛,绝对收敛. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 其和分别为 绝对收敛比条件收敛具有更好的性质: *定理8. 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和 . 说明: 证明见参考书, 这里从略. *定理9. ( 绝对收敛级数的乘法 ) 则对所有乘积 按任意顺序排列得到的级数 也绝对收敛, 设级数与都绝对收敛, 其和为 但需注意条件收敛级数不具有这两条性质. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例17 级数 重排次序后变为发散的级数 . 解: 将级数重排次序为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 下面我们将证明是发散的， 将相邻三项加括弧， 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的通项： 正项、发散 发散 内容小结 1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 利用正项级数审敛法 必要条件 不满足 发 散 满足 比值审敛法 根值审敛法 收 敛发 散 不定 比较审敛法 用它法判别 积分判别法 部分和极限 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 任意项级数审敛法 为收敛级数 Leibniz判别法: 则交错级数收敛 概念: 绝对收敛 条件收敛 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习 1.设正项级数收敛, 能否推出收敛 ? 提示: 由比较判敛法可知 收敛 . 注意: 反之不成立. 例如, 收敛 ,发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习 2.设级数收敛, 也收敛 ? 提示: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 且