二项式定理练习题下载

精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 1 / 27 二项式定理练习题下载 一、选择题： 1在 A 已知 的展开式中， B ， C D 的展开式按 a 的降幂排列，其中第 n 项与第 n+1 项相等，那么正整 数 n 等于 A B C 10 D 11 3已知 A 10 B 11 C 1D 14 5310 被 8 除的余数是 A 1 B C D 7 5 6 的计算结果精确到 近似值是 A 二项式 的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此 展开式有理项的 项数是 A 1 B C D 4 7设展开式的各项系数之和为 t，其二项式系数之和为 h，若 t+h=272，则展开式的 的 系数是 A B 1 C D 38在 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 2 / 27 的展开式中 的系数为 A B C D 7 9展开式中所有奇数项系数之和等于 1024，则所有项的系数中最大的值 是 A 330 B 46C 680 D 79010 的展开式中， 的系数为 A 40 B 10 C 40 D 45 11二项式 n 的展开式中，末尾两项的系数之和为 7 ，且系数最大的一项的值为 ，则 x 在 0， 2 内的值为 A或 B或 C或 D或 12在 5+6+7的展开式中 ,含 n 5 的 A第 2 项 B第 11 项 C第 20 项 D第 24项 二、填空题： 13 14 若 _. 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 3 / 27 展开式中的系数是 _. ， 则 的值为 的展开式中只有第 6 项的系数最大，则展开式中的常数项是 16对于二项式 展开式中 T ，有下列四个命题： = C x ； 展开式中非常数项的系数和是 1； 展开式中系数最大的项是 第 1000 项和第 1001 项； 当 x=2000时， 除以 2000的余数是 1 其中正确命题的序号是 _ 三、解答题： 17若展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列 求 n 的值； 此展开式中是否有常数项，为什么？ 18已知 n 的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，求展式中二项式系数 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 4 / 27 19 是否存在等差数列 ，使对任意 都成立？若存在，求出数列 20设 f=m+n，若其展开式中，关于 x 的一次项系数为 11，试 问： m、 n 取何值时， f 的展开式中含 求出这个最小值 . 21规定数 ，其中 xR ， m 是正整数，且，这是组合 的一种推广 的值； 求 设 x，当 x 为何值时， 组合数的两个性质； . 取得最小值？ . 是否都能推广到的情形？若能推广，则写出推广的形式 并 给出证明； 若不能，则说明理由 . 参考答案 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 5 / 27 一、选择题 1 D A C A D C B C B 10 D 11 B 12 3 = =1+ ， r=0,1,8. ， 设 由 设 则 ，得满足条件的整数对 只有 ,. 得 = ， n=4, 的展开式的通项为 . , 取 r=4. 二项式展开式的通项为 的展开式的通项公式为 令 r+n=5,则 n=5,4,5,n=2,1,0. 展 开式 中 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 6 / 27 含 项 的系数为 9显然奇数项之和是所有项系数之和的一半， 令 x =1 即得所有项系数之和， 各项的系数为二项式系数，故系统最大值为或 ，为 462 10 = 的系数为 二、填空题 13； 14 1； 15 =210； 16 三、解答题 17解析： n = ； 无常数项。 18解析：由得，得 ，该项的系数最大，为。 19解析：假设存在等差数列 满足要求 : 依题意 20解析：展开式中，关于 x 的一次项系数为 关于 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 7 / 27 的二次项系数为 当 n=5 或 6 时，含 的系数取最小值 25， 此时m=6,n=5 或 m=5,n=6. 21解析： ， 对 恒成立， , 所求的等差数列存在，其通项公式为 ， ， 。 x 0 , 当且仅当时，等号成立 . 当 时， 时，有定义，但 取得最小值 . 无意义 ; 性质 不能推广，例如当 性质 能推广，它的推广形式是 事实上，当 m时，有 ， xR , m 是正整数 . . 当 m 时， 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 8 / 27 二项式定理 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共60分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 . 1在 x? 10 的展开式中， x 的系数为 4 B 27 6 C ?9 D 9 ?27 已知 a?b?0,b?4a， ?a?b?n 的展开式按 a 的降幂排列，其中第 n 项与第 n+1项相 等，那么正整数 n 等于 A B 9 C 10 D 11 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 9 / 27 3已知 D 13 D 7 D 10B 11C 110 4 53被 8 除的余数是 A 1 B C 3 6 5 的计算结果精确到 近似值是 A n 1?6二项式 ?2x?4? 的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开 x? 式有理项的项数是 A 1 B 2 1 3 12 n C D 4 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 10 / 27 7设展开式的各项系数之和为 t，其二项式系数之和为 h，若 t+h=272，则展 开式的 x 项的系数是 A 1 2 262 B 1 5 C D 3 8在的展开式中 x 的系数为 A 9 x A 330 B 462 4 C 680 D 790 D 45 10 45的展开式中， x 的系数为 A 40 B 10 C 40 11二项式的展开式中，末尾两项的系数之和为 7，且系数最大的一项的值为 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 11 / 27 则 x 在 0， 2 内的值为 A C 4 n 5， 2 ?5? 或 B或 6636 5 6 7 ?2?5? 或 D或 3633 12在 +的展开式中 ,含 x 项的系数是等差数列 n 5 的 A第 2 项 B第 11项 C第 20项 D第 24项 二、填空题：本大题满分 16分，每小题 4 分，各题只要求直接写出结果 . 13展开式中 品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 12 / 27 14若 2x?3 ? 4 ?a0? ?a0?a2?a1? 的值为_. 15若 项的系数最大，则展开式中的常数项是 . 16对于二项式 1999 ，有下列四个命题： 1000 展开式中 x 999 ； 展开式中非常数项的系数和是 1； 展开式中系数最大的项是第 1000 项和第 1001 项； 当 x=2000时， 1999 除以 2000的余数是 1 其中正确命题的序号是 _ 三、解答题：本大题满分 74 分 . 17若 n 展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 13 / 27 求 n 的值； 此展开式中是否有常数项，为什么？ 18已知 n 的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，求展式中二项式 4 系数最大的项的系数 129 是 否 存 在 等 差 数 列 ?，使?Cn?n?2 对任意 n?N*都成立？若存在，求出数列 ?通项公式；若不存在，请说明理由 20某地现有耕地 100000 亩，规划 10 年后粮食单产比现在增加 22%，人均粮食占 有量比现在提高 10%。如果人口年增加率为 1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少亩？ 1. 设 f=+，若其展开式中，关于 x 的一次项系数为 2 11，试 问： m、 n 取何值时， f 的展开式中含 x 项的系数取最小值，并求出这个最小值 . 22规定 m x?0 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 14 / 27 ，其中 xR ， m 是正整数，且 ，这是 m! m 组合数 求 C?15的值； 3 x，当 x 为何值时， 2 取得最小值？ x 组合数的两个性质； mn?m n?n?1. m 是否都能推广到 情形？若能推广，则写出推广的形式 并给出证明；若不能，则说明理由 . 参考答案 一、选择题 1 D A C A D C B C B 10 D 11 B 12 C 21 3解： n?11/2， n ?12 5解： = 6 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 15 / 27 12233 ?1?6?6?6? =1+?解： ?2 8?r r 6?3r 4 ， r=0,1,8. 设 16?3r?k，得满足条件的整数对 只有 4 ,.解：由 4n ?2 n ?272,得 2n?16， n=4, ?3 4?r ?r , 取 r=4. 8解：设 6=1?2 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 16 / 27 ?的展开式的通项为 T 6 r?1 , 则 2r r ?二项式展开式的通项为 ?nn?n r r?1?n, n?0 令 r+n=5,则 n=5,0?r?6,0?n?,4,5,n=2,1,0. 324150 6 展开式中含 26. 9解：显然奇数项之和是所有项系数之和的一半，令x =1 即得所有项系数之和， 65 或 462 n?1?1024?210,?n?系统最大值为 0解： 45=444?54 = 5 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 17 / 27 2=5 1 533?5. 二、填空题 13 ? 2164 ； 14 1； 15 10?10； 16 三、解答题 17解： n = 无常数项 0 18解：由 7,得 1?n?1n?37，得 2 n?8 84 1355 5?x，该项的系数最大，为 35 5 41616 项式定理 1、能用计数原理证明二项式定理 . 2、会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 . 02n?22rn?、二项式定理： n?品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 18 / 27 二项式的展开式有 n?1项，而不是 n 项。 rn?项式通项公式： ? 它表示的是二项式的展开式的第 r?1项，而不是第 r 项 r 其中 r?1项的二项式系数，而二项式展开式第 r?1 项的 系数是字母幂前的常数。 注意 r?0,1,2,?,n 3、二项式展开式的二项式系数的性质 对称性：在二项展开式中，与首末两项 “ 等距离 ” 的两项的二项式系数相等。即 mn?m=n 增减性和最大值：在二项式的展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值， 如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等且最大。 012n?2n?1n 所 有 二 项 式 系 数 的 和 等 于 2n ，即n?n?n 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，即 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 19 / 27 024135n?n?2n?1 a0,a1,a2,? 对于f?a0?a1?a2?an?f， a0?a1?a2?f 5、证明组合恒等式常用赋值法。 例 1 若 2004?a0?.?x?R,求 +?+ 解 ： 对 于 式 子 ：2004?a0?.?x?R, 令 x=0，便得到： 令 x=1，得到 a0?a1?.? 又原式： +?+ =20042003 原式： +?+=200 例 2. 已知二项式 2 x 比是 10： 1， 求展开式中各项的系数和 求展开式中系数最大的项以及二项式 系数最大的项 解： 第 5 项的系数与第 3 项的系数的比是 10： 1， C 4品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 20 / 27 ?4?2 ? 10 ，解得 n=1 令 x=1得到展开式中各项的系数和为 8=1 展开式中第 r 项 , 第 r+1 项 ,第 r+2 项的系数绝对值分别为 C r?18 ?2n?r,r,r?1, r?18 若第 r+1项的系数绝对值最大 ,则必须满足： C ?2n?rr 并且 r?1 r ，解得 5r6 ； r 所以系数最大的项为 792? 11；二项式系数最大的项为 T=1120 ?5项式定理强化训练 1 1在二项式 5 的展开式中，含 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 21 / 27 x A 10 B 10 C D 5 2若 5 a 2，则 a b A 4B 5 C 70 D 80 3在的展开式中，所有奇数项的系数之和为 1 024，则中间项系数 n A 330B 46C 68D 792 ?224如果 ?3x 3n 的展开式中含有非零常数项，则正整数 n 的最小值为 ? x? A 10 B 6C D 3 5在 ?2x ?5的展开式中，系数大于 1 的项共有 2?A 3 项 B 4 项 C 5 项 D 6 项二项式 4n?1的展开式中，系数最大的项是 A第 2n 1 项 B第 2n 2 项 C第 2 D第 2n 1 项和第 2n 2 项 1 7若 n 展开式的各项系数之和为 32，则其展开式中的常数项是 _ 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 22 / 27 ? y? x 2 8（ x 2)5的展开式中 _；其展开式中各项系数之和为 _若 ?2x ? ?212?9 的展开式的第 7 项为 x _. 42? 14 2x )的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列 n 10已知证明：展开式中没有常数项； 求展开式中所有有理项 11设 5 ? ： | | | | | | a3 2 2. 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 23 / 27 1在 20的展开式中，求： 二项式系数最大的项； 系数绝对值最大 的项； 系数最大的项 210 3k 1 10 3k 45 k 2.含 x 的项为 系数为 10. 二项式定理得： 1 1 52 20 2 20 42 41 292， a 41， b 29， a b 70. 二项式的展开式的所有项的二项式系数和为 2，而所有偶数项的二项式系数和与所有奇数项的二项式系数和相等由题意得， 2n 1 1 024， n 611， 展开式共有 12项，中间项为第六项、第七项，系数为 462. 5 1 2 2 3 3 4 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 24 / 27 4 5 5 4 2 n ? 1 C?3 ?x? n k x 5k ， 5k 由题意知 2n 5k 0，即