正余弦转换练习题

精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 1 / 40 正余弦转换练习题 6在 ，已知 a 8， B 60 ， C 75 ，则 b 等于 32 A 4 B 43C D. 3 3在 ，角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c， A 60 ， a， b，则角 B 为 A 45 或 135B 135C 45 D 以上答案都不对在 ， abc 156 ，则 A 156B 651 C 615D 不确定 解析：选 A. 由 正弦定理知 abc 156. 在 ， a， b， c 分别是角 A， B， C 所对的边，若 A 105 ， B 45 ， b 2，则 c 11 A 1 4b 6在 ，若，则 a A等腰三角形 B等边三角形 C直角三角形 D等腰三角形或直角三角形已知 ， 1， B 30 ，则 面积为 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 2 / 40 33333A. 242 8 内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c.若 c 2， B 120 ，则 a 等于 9在 ，角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c，若 a 1， C，则 A _. 3 43 10在 ，已知 a， b 4， A 30 ，则 _. 3 11在 ，已知 A 30 ， B 120 ， b12，则 a c _. 12在 ， a 2形状为 _ a b c 13在 ， A 60 ， a， b 12， S 18，则 _， c _. 2b c 14已知 ， ABC 123 ， a 1，则 _. 2 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 3 / 40 1 15在 ，已知 a 2， S 43，则 b _. 3 16在 ， b 43， C 30 ， c 2，则此三角形有 _组解 17如图所示，货轮在海上以 40 km/h 的速度沿着方位角为 140 的方向航行，为了确定船位，船在 B 点观测灯塔 A 的方位角为 110 ，航行半小时后船到达 C 点，观测灯塔 A 的方位角是 65 ，则货轮到达 C 点时，与灯塔 A 的距离是多少？ 8在 ， a、 b、 c 分别为角 A、 B、 C 的对边，若 a， 2242 B 及 b、 c. 19在 ， A、 B 为锐角，角 A、 B、 C 所对应的边分别为 a、 b、 c，且 B 的值；若 a b 2 1，求 a， b， 10 20 ， 603， ， 面积为 3，求边 b 的长 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 4 / 40 1 1在 ，如果 6， 4， 那么3 A B C D 6在 ， a 2， b 3 1， C30 ，则 c 等于 2在 ， A 等于 A 60 B 45C 120 D 150 22 4在 ， A 、 B 、 C 的对边分别为 a、 b、c，若 B 的值为 52A. C. 或 36633 5在 ， a、 b、 c 分别是 A、 B、 C 的对边，则于 A c D以上均不对 6如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D由增加的长度决定 7已知锐角三角形 | 4， | 1， ，则 C 的值为 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 5 / 40 A 2B C 4D 8在 ， c 3， B30 ，则 a 为 A. B 23D 2 9已知 三个内角满足 2B A C，且 1，4，则边 的中线 长为 _ 10 3 1)10，求最大角的度数 11已知 a、 b、 c 是 三边， S 是 面积，若 a 4， b 5， S 53，则边 c 的值为 _ 12在 234 ，则 _. 1 13在 ， a 32， ， S 43，则 b _. 3 14已知 三边长分别为 7， 5， 6，则 C 的值为 _ 222a b c 15已知 三边长分别是 a、 b、 c，且面积 SC _. 4 16三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 6 / 40 则最小角的余弦值为 _ 17在 ， a，b， a， b 是方程 2x 2 0 的两根，且 21，求 1 18已知 1，且 2 面积为 ， 6 求角 C 的度数 19在 ， 3， 2 3 2 定 形状 正弦定理 1在 ， A 45 ， B 60 ， a 2，则 6 析：选 b 6. 在 ，已知 a 8， B 60 ， C 75 ，则 32 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 7 / 40 A 4 B 43C D. 3 析：选 45 ，由正弦定理得 b 46. 在 ，角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c， A 60 ， a 3， b 2，则角 B 为 A 45 或 135B 135C 45 D 以上答案都不对 析：选 b， B 4 在 ， abc 156 ，则于 A 156B 651 C 615D 不确定 解析：选 abc 156. 在 ， a， b， c 分别是角 A， B，C 所对的边，若 A 105 ， B 45 ， b 2，则 c 11 A 1 4 解析：选 180 105 45 30 ，由 c 1. 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 8 / 40 b 6在 ，若，则 a A等腰三角形 B等边三角形 C直角三角形 D等腰三角形或直角三角形 解析：选 D. ， 即 2A 2A 2B ，即 A B，或 A B 2 7已知 ， 1， B 30 ，则 析：选 D.，求出 C 有两解，即 C 60 或 120 ， A 90 或30. 1 再由 S 求面积 2 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 9 / 40 8 内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c.若 c 2， B 120 ，则 a 等于 A. B 2 解析：选 1 2 又 C 为锐角，则 C 30 ， A 30 ， 等腰三角形， a c 2. 9在 ，角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c，若 a 1， C，则 A _. 3 a所以 又 a c， A C A 36 答案： 6 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 10 / 40 410在 ，已知 a， b 4， A 30 ，则 _. 3析：由正弦定理得 3 答案： 2 11在 ，已知 A 30 ， B 120 ， b12，则 a c _. 解析： C 180 120 30 30 ， a c， 由得， a 3 ， a c 83. 答案： 83 12在 ， a 2 形状为_ 解析：由正弦定理，得 a 2R b 2R 代入式子 a 2 22R 所以 2 即 2 化简，整理，得 0. 0 B 180 ，0 C 180 ， 180 B C 180 ， B C 0 ，精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 11 / 40 B C. 答案：等腰三角形 a b c 13在 ， A 60 ， a 3， b 12， S183，则 _， c _. a b 析：由正弦定理得 12，又 S 2c 3， 22 c 6. 答案： 16 a 2b c 14已知 ， ABC 123 ， a 1，则 _. 2 解析：由 ABC 123 得， A 30 ，B 60 ， C 90 ， 2R 2， 又 a 2， b 2， c 2， a 2b 2 2R 2. 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 12 / 40 2 2 答案： 2 1 15在 ，已知 a 2， S 43，则 b _. 3 221 解析：依题意， S 43， 32 解得 b 23. 答案： 23 16在 ， b 4， C 30 ， c 2，则此三角形有 _组解 1 解析： 2 且 c 2， 2 c 1 解：在 ， 20， 2 140 110 30 ， 65 105 ， 所以 A 180 45 ， 由正弦定理得 BC 0 2 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 13 / 40 即货轮到达 C 点时，与灯塔 A 的距离是 108在 ， a、 b、 c 分别为角 A、 B、 C 的对边，若 a 3， 2242 B 及 b、 c. ：由 2242 5 又 C ，所以 66A 由 1 2 即 2 1 即 2 1，变形得 1， 5 即 1，所以 B C B C， 66 2 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 14 / 40 A 3正弦定理，得 12 b c 2. 3 2 2 故 A， B b c 2. 36 19在 ， A、 B 为锐角，角 A、 B、 C 所对应的边分别为 a、 b、 c，且 0 B 的值；若 a b 2 1，求 a， b，c 的值 10 正、余弦定理的五大命题热点 知识点： 1、正弦定理：在 ?C 中， a、 b、 c 分别为角 ?、 ?、 R 为 ?有 ? ? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 15 / 40 2R 2、正弦定理的变形公式： a?2， b?2， c?2 a:b:c? 3 、三角形面积公式：S?C ? ? ； c a?b?c 11 ? 22 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 16 / 40 4、余弦定理：在 ?C 中，有 a2?b2?b2?a2? c2?a2? b?c?a 2 2 2 5、余弦定理的推论： ， a?c?b 222 ， a?b?c 222 6、设 a、 b、 c 是 ?、 ?、 C 的对边，则： 若a2?b2? C?90?； 若 a2?b2? C?90?； 若a2?b2? C?90? 正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。主要有以下五大命题热点： 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 17 / 40 一、求解斜三角形中的基本元素 指已知两边一角，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线及周长等基本问题 ? 1、 ?， A?， 3，则 ?3 A 43? ? ? ? ? ?B 43?C 6? D 6?3?6?3?6? 463 66 2、 在 ，已知 D=5，求 3、在 ，角 A， B， C 所对的边长 分别为 a， b，c，若 C=120 ， a，则 a b 的大小关系不能确定、在 ，内角 A,B,a,b,c ，若 a?b? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 18 / 40 300120 150、在 ?a=15,b=10,A=60 ，则 3 3 3 3 2 2 ， ，则 A= 00 A B C - 1 - 6、在 ，若 b = 1， ?C? 2?3 ，则。 7、 在 ，已知 B=45,D 是 上的一点， 0,4,，求 8、在锐角 ?,B?2A,则 的值等于 ， . 品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 19 / 40 、 ， A,B,a,b,c， 求 A,C； 若 S? ,求 a,c. 二、判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状 1、在 ?知 2么 ?定是 A直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D正三角形、 三个内角满足:11:13，则 定是锐角三角形 一定是钝角三角形 . 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 . 三、 解决与面积有关问题：主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题 1、在 ? ?A?120?， ， ，则 ?四、求值问题 1、在 ?A、 ?B、 ?a、 b、c， 设 a、 b、 c 满足条件 b2?c2?bc? 2? 3，求 ?A和 ba?6 品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 20 / 40 2、在锐角三角形 A、 B、 C 的对边分 别为 a、 b、c， =_。 3、 在 ， a, b, c 分别为内角 A, B, 2 求 A 的大小； 求 最大值 . 五、正余弦定理解三角形的实际应用 利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识，例析如下： 测量问题 1、如图 1 所示，为了测河的宽度，在一岸边选定 A、B 两点，望对岸标记物 C，测得 0 ， 75 ，20河的宽度。 遇险问题 2、某舰艇测得灯塔在它的东 15 北的方向，此舰艇以 30海里 /小时的速度向正东前进， 30分钟后又测得灯塔在它的东 30 北。若此灯塔周围 10 海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？ A 图 1 D B 图 2 C 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 21 / 40 - - 追击问题 3、 如图 3，甲船在 A 处，乙船在 A 处的南偏东 45方向，距 A 有 9n 以 20n h 的速度 沿南偏西 15方向航行，若甲船以 28n h 的速度航行，应沿什么方向，用多少 h 能尽快追上乙船？ 五、交汇问题 是指正余弦定理与其它知识的交汇，如与不等式、数列、立体几何、解析几何、实际问题等知识交汇 1、 ，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 a， b， c 成等比数列， ?3 求 值； 设 C?，求 a c 的值 . 2 34. 图 3 易错题解析 例题 1 在不等边 ， 果 a2?b2? A 的取值范围。 错解： a2?b2? b2?c2? 。则 b?c?a 2品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 22 / 40 2 2 2 0，由于 上为减函数且 0 ，A?90 又 A 为 内角， 0 A 90 。 辨析：错因是审题不细，已知条件弱用。题设是 a 为最大边，而错解中只把 a 看做是三角形的普通一条边， 造成解 题错误。 正解：由上面的解法，可得 A 90 。 又 a 为最大边， A 60 。因此得 A 的取值范围是。 例题在 ，若 2 ? 试判断 形状。 错解：由正弦定理，得 2 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 23 / 40 ? 2 ? ， 即 2A 2B，即 A B。故 等腰三角形。 辨析：由 2A 2B。这是三角变换中常见的错误，原因是不熟悉三角函数的性质，三角变换生疏。 正解：同上得 2A 2k?2B 或 2A?2k?2B。 0?A?， 0?b?， k?0 ，则 A?故 等腰三角形或直角三角形。 例题在 ， A 60 ， b 1，S错解： A 60 ， b 1， S 3，求 12 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 24 / 40 a?b? 2 ?B。 的值。 3，又 S - - 3? 12 ，解得 c 4。 b?c?22 2 由余弦定理，得 a?1?16?8 ?1?432? 3239 ? 639 又由正弦定理，得 639 ， 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 25 / 40 3239 。 a?b? 。 辨析：如此复杂的算式，计算困难。其原因是公式不熟、方法不当造成的。 正解：由已知可得 c?4， a? 。由正弦定理，得 2R? 2393 。 a?b?2R? 2393 。 例题在 ， c?6?2， C 30 ，求 a b 的最大值。 错解： C 30 ， A B 150 ， B 150 A。 由正弦定理，得 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 26 / 40 b 6? 2 a?2 b?2)?2?4。 又 ， a?b?2 。 辨析：错因是未弄清 A 与 150 A 之间的关系。这里A 与 150 A 是相互制约的，不是相互独立的两个量， ，因此所得的结果也是错误的。 正解： C 30 ， A B 150 ， B 150 A。 由正弦定理，得 b 6? 2 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 27 / 40 因此 a?b?2?8?a b 的最大值为 8?43。 例题在 ，已知 a 2， b 22， C 15 ，求 A。 4 错解：由余弦定理，得 c?a?b?25?4?8?22222 ?8?c?6?2 。 - - 又由正弦定理，得 12 而 00?A?1800， A 300或 A?1500。 辨析：由题意 b?a， B?A 。因此 A 150 是不可能的。错因是没有认真审题，未利用隐含条件。在解题时， 要善于应用题中的条件，特别是隐含条件，全面细致地分析问题，避免错误发生。 正解：同上 c? 6? 2， 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 28 / 40 12 000 ， b?a ， B? A，且 0?A?180， A?30 。 例题在 ， ?判断 形状。 错解：在 ， 由正弦定理 得 2 2A?2B 且 2A?2B?180A B 且 A B 90 故 等腰直角三角形。 辨析：对三角公式不熟，不理解逻辑连结词 “ 或 ” 、“ 且 ” 的意义，导致结论错误。 正解：在 ， 由正弦定理 ， 得 2 2A 2B 或 2A 2B 180 ， A B 或 A B 90 。 故 等腰三角形或直角三角形。 例题若 a， b， c 是三角形的三边长，证明长为 a， c 的三条线段能构成锐角三角形。 错解：不妨设 0?a?b?c，只要考虑最大边的对角 为锐角即可。 ? 2a b 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 29 / 40 2 2 2 ? a?b? 由于 a， b， c 是三角形的三边长，根据三角形三边关系，有 a?b?c，即 0。 长为 a， b， c 的三条线段能构成锐角三角形。 辨析：三条线段构成锐角三角形，要满足两个条件： 三条边满足三角形边长关系； 最长线段的对角是锐角。显 然 错 解 只 验 证 ?a ” _ 说诙 鎏跫鄙俚谝桓鎏 跫 ?正解：由错解可得 0 又 a? b? c? a? ? 2 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 30 / 40 ? ? ?0 即长为 a， b，典型题 c 的三条线段能构成锐角三角形。 1、若 ? 满足 3 3 23 ，则 53 53 ? D ? 解：由 2，可知 A 这锐角，所以 ， 又 ?1?2 53 ，故选 A 2、如果 ? A ? ?是锐角三角形 B ?2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 31 / 40 和 ?是钝角三角形 C ?钝角三角形， ?锐角三角形 D ?锐角三角形， ?钝角三角形 - - 角和与差的正弦、余弦正切公式 1 511115 值是 612612 2 A答案： B B C 12 D 12 2若 ，则 于 A 1 答案： C 第 1 题 已知 B 1 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 32 / 40 C 0 D 1 15? ， ? 是第二象限角，求 ?的值 317? 第题 已知 ?的值 23?3? ?3? ， ?,， ?,2? ，求 ?2234? 1 ? 2 第题化简 于 1 答案： 第题 于 2 2 4 答案： 第题化简 ） 2 ?2 答案： 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 33 / 40 24 422 ? 第题化简 ?2?的结果为 22?42? 2? 答案： 2? 2 ? 2? 4? ? 第 7 题化简的值等于 20? 答案： 1 第 8 题设 ?是三角形的最小内角，且 a? a? 答案： 6已知 ? 2 ?品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 34 / 40 ? 2 ? 2 ? 2 ?a?1，则 a 的取 a?1 a?1 3 ， 求的值 4 答案：分析：当题中有异角、异名时，常需化角、化名，有时将单角转化为复角本题是将复角化成单角，正切和正弦常常互化 欲求 的值，需化切为弦，即，可再求 ?解： 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 35 / 40 22 ， 33 33， 4 = 17 由 得 ? 第 9 题若 a?，则 ab? 第 10题已知 3，求 ?答案： ?2 第 11题 已知 ? ? ? ?的值 4? 1