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2.3 无穷小量 一、无穷小量 二、无穷小量的性质 2.6 无穷小量阶的比较 一、无穷小量阶的比较 二、无穷小量的等价替换原理 2.3 无穷小量 一、无穷小量 二、无穷小量的性质 一、无穷小量 极限为零的函数称为无穷小量.定义： Note: (2)无穷小量相对于自变量的某一变化过程而言. (3)无穷小量不是指很小的数而是指一个变量。 当 时， 是无穷小量； 当 时， 是无穷小量； 当 时， 是无穷小量； 例：自变量x在何变化过程中, 下列变量 f (x)为无穷小？ 解 ： (3) 无论 x 趋于何值, 二、无穷小量的性质 ： 性质1: 有限个无穷小量之和、差、积仍为无穷小量。 性质2:无穷小量与有界量之积仍为无穷小量。 注意：上述结论中“有限个“不能轻易去掉.比如无限个 无穷小量之和不一定无穷小量。 ( (同一自变量变化过程同一自变量变化过程) ) n n个个 推论1：常数与无穷小的乘积仍为无穷小. 推论2 有极限的变量与无穷小的乘积仍为无穷小. n n 解：解： |sinx|1(|sinx|1(有界量有界量). ). ( (无穷小量与有界量之积无穷小量与有界量之积 ) ) 例: 无穷小量与函数极限的关系 定理2.3.1： 其中 为 时的无穷小量。 2.6 无穷小量阶的比较 一、无穷小量阶的比较 二、无穷小量的等价替换原理 无穷小量虽然都是趋于零的变量，不同的无穷小量 趋于零的速度都不一样，有时差别很大。 一、无穷小量阶的比较 定义2.6.1: 设 和 均是 变化趋势下的两个无穷小量， 则称 是 的高阶的无穷小量. 则称 与 是同阶的无穷小量. 特别地， 则称 与 是等价的无穷小量. (3) 如果 则称 是 的k阶无穷小. 例：当x0+时,对无穷小量x1/2,2x,4x,x2进行比较。 注意：不是任何两个无穷小量都可以比较阶的高低！ 等价无穷小量 ： 则 定理2.6.2 (等价替换原理) 设 为同一极限过 程中无穷小量, 且, 若存在, 二、无穷小量等价替换原理： 无穷小等价替换只能在分子分母中的因式中用无穷小等价替换只能在分子分母中的因式中用, , 不能在加减运算中用。不能在加减运算中用。 n n 解：解： n n 解：解： 例： 错误的代换错误的代换 ： 加减运算内各部不能替换加减运算内各部不能替换 小结 1、理解无穷小量的定义 2、掌握
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