《重积分习题》PPT课件-2.ppt

第九章 习题课 重积分 一 基本要求 1理解重积分的概念. 2了解重积分的性质，明确重积分是定积 分的推广. 3掌握二重积分的计算方法（直角坐标 极坐标），会计算简单的三重积分（直角 坐标 柱面坐标 球面坐标）. 4会用重积分求一些几何量和物理量. 二.要点提示 二重积分是定积分的推广，其计算 方法是化为二次积分来计算. 三重积分 可以化为一个单积分和一个二重积分或 三次积分来计算. 1.重积分的计算 二重积分： a b 则 （先y后x） X-型区域: 若积分区域D可表示为 a. 在直角坐标系下 若积分区域 D可表示为Y-型区域： c d若D 不是X-型、Y-型 区域，可由重积分的 可加性来计算. 则(先x后y) b. 在极坐标下 （一般总是先对r 积分后对 积分） : 0 则 D: 若D不包含极点， 若D包含极点. o 则 D: 可以把复杂的二次积分化为较简单的 二次积分。 一般步骤为 所给二次积分 将D表示为不等式 画出积分域 D 的新的不等式表示 新的二次积分. 2.交换积分次序 三重积分： 设 在空间有界区域 上连续， a. 直角坐标系 先二后一(截面法） 设 在z轴上的投影 区间为 , 有界闭区 域 为平行于xoy面的 的任意截面，则 b.柱面坐标系 面积元素为 柱面坐标与直角坐标的关系： c.球面坐标系 体积元素为 球面坐标与直角坐标的关系： 3.二重积分的对称性 （1）如果D关于y轴对称,则 有 其中 其中 （2）如果D关于x轴对称,则 有 其中 同上. （4）如果D关于直线 对称，则 （3）如果D关于原点对称,则 有 答：不对。正确的是 三 问题与思考 问题2. 选择积分次序计算二重积分应该 考虑哪些方面? 交换积分次序的步骤是什么? 答：两个方面，被积函数和积分区域. 步骤是：由累次积分的积分限，还原出 积分区域，再将重积分按照新的次序化为 二次积分. 问题3. 针对积分区域和被积函数的特点, 如何选取直角坐标和极坐标以计算二重积分? 如何选取直角坐标、柱面坐标和球面坐标以 计算三重积分? 答：若积分区域为圆（部分）域、扇形 或扇面等，被积函数中含有 ， 则常采用极坐标计算二重积分. 等形式, 利用球面坐标计算 三重积分常能简化运算. 如果积分区域为球形域或部分球域, 被积函数化为球面坐标形式比较简单如 如果积分区域在某坐标面上的投影为 圆域、扇形域、圆环域或它们的一部分, 被积函数化为柱面坐标形式比较简单 (比 如 等形式), 则利用柱面坐标计 算三重积分常能简化运算. 问题4写出在不同坐标下的二重积分的 面积元素和三重积分的体积元素. 体积元素: 柱面坐标： 球面坐标： 答：面积元素: 极坐标： 直角坐标： 直角坐标： 四 典型题目 为三顶点的三角形区域. 若改变积分次序，计算繁. 1.解 先x后y积分 解 由对称性，有 注意: 4.分别用三种不同的坐标和先二后一法 计算 解 直角坐标： 柱面坐标： 球面坐标： 先二后一法： 注：如果被积函数只依赖于一个变量， 而以该变量去截积分区域而截面的面积 又容易求得时，用“先二后一”法来计算 三重积分常常能简化运算. 5.分别利用定积分，二重积分和三重积分 计算旋转抛物面 和平面 所围成