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文档简介

主讲教师: 王升瑞 高等数学 第十讲 1 第二节 一、利用直角坐标计算二重积分 二、交换积分次序 二重积分在直角坐标系的计算法 第八章 2 曲顶柱体体积的计算 设曲顶柱体的底为 任取 平面 故曲顶柱体体积为 截面积为 截柱体的 截柱体对应薄片的体积： 3 同样, 曲顶柱的底为 则其体积可按如下两次积分计算 4 一、利用直角坐标计算二重积分 且在D上连续时, 由曲顶柱体体积的计算可知, 若D为 X 型区域 则 若D为Y 型区域 则 5 计算二重积分的步骤： 一、 画积分域 D 二、选择积分次序 三、定积分限 四、计算 若D为 X 型区域 若D为Y 型区域 左右夹，从下向上穿上下夹，从左向右穿 计算二重积分的基本思想 将其化成两次定积分来计算。 定内限域中一线穿 定外限域边两线夹（是常数） 6 说明: (1) 若积分区域既是X型区域又是Y 型区域 , 为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序. 则有 (2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 X-型域或Y-型域 , 则 7 例1. 计算其中D 是直线 y1, x2, 及 yx 所围的闭区域. 解法1. 将D看作X型区域, 则 解法2. 将D看作Y型区域, 则 8 例2. 计算其中D 是抛物线 所围成的闭区域. 解: 求交点 及直线 则 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分, 9 例3. 计算其中D 是直线 所围成的闭区域. 解: 由被积函数可知, 因此取D 为X 型域 : 先对 x 积分不行, 说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序 . 10 注：本题计算中若先对 后对积分; 由于的原函数不能用初等函数来表示，则本题 只能采用先对 后对积分。 例4 计算 其中 D 是由直线所围成。 11 例4 计算 其中 D 是由直线 所围成。 解：画域 12 例5 计算 解: 由被积函数可知, 因此取D 为X 型域 : 先对 x 积分不行, 13 例6. 交换下列积分顺序 解: 积分域由两部分组成: 视为Y型区域 , 则 14 交换二次积分的积分次序的步骤 ： 1、根据已给的二次积分的积分限用不等式表示区域 D，并画出D的图形。 2、根据D的图形将D用另一种表达式来表示，以确定 改变积分次序后的积分限。把所给的二次积分化成另 一种二次积分。 15 例7: 计算 解: 先画D域 由:将D域分为D1和D2 16 例8. 计算其中D 由 所围成. 解: 令 (如图所示) 显然, 17 内容小结 (1) 二重积分化为累次积分的方法 直角坐标系情形 : 若积分区域为 则 若积分区域为 则 18 (3) 计算步骤及注意事项 画出积分域 确定积分序 写出积分限 计算要简便 积分域分块要少 累次积好算为妙 图示法 不等式 ( 先积一条线, 后扫积分域 ) 充分利用对称性 应用换元公式 （两边夹，一线穿） 19 作业 P487 1 (2); 2 (2), (3); 3 (2), (3),(4)
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