CH103三重积分的计算.ppt

类似二重积分解决问题的思想, 采用 引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的 物质,求分布在 内的物质的 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 解决方法: 质量 M . 密度函数为 首先把 M 分成 n 个小块 V1 , V2 , . . . , Vn , Vi 的体积 记为 其次在每个小块 Vi 上任取一点 则 Vi 的质量 然后对每个小块 Vi 的质量求和： 最后，取极限 其中 10-3 10-3 三重积分三重积分 定义. 设 存在, 称为体积元素, 若对 作任意分割: 任意取点 则称此极限为函数在 上的三重积分. 在直角坐标系下常写作 三重积分的性质与二重积分相似.性质: 例如: 下列“乘 中值定理.在有界闭域 上连续, 则存在使得 V 为 的 体积, 积和式” 极限 记作 (1) 三重积分的存在性： (2) 三重积分没有几何意义，但有物理意义. 说明： 1. 利用直角坐标计算三重积分 方法1 . 投影法 (“先一后二”) 方法2 . 截面法 (“先二后一”) 方法3 . 三次积分法 先假设连续函数 并将它看作某物体 通过计算该物体的质量引出下列各计算 最后, 推广到一般可积函数的积分计算. 的密度函数 , 方法: 三重积分的计算 如图， 若把被积函数 f (x , y , z) 设想为密度函数 , 则 在 Dxy 中任取一微元 , 其坐标为 ( x , y ) , 则 对应的 , 平行于 z 轴的 , 中的细棒质量 可以看到: 的质量就是 中所有这种细棒 质量的无限累积 , 利用微元法有 (1) 该公式 称为三重积分的先一后二计算公式。 所以有 ( ) 则利用二重积分化为 二次积分的方法进一步可 将 (1) 的积分化为 三次积分 该物体的质量为 细长柱体微元的质量为 微元线密度 记作 方法1. 投影法 (“先一后二” ) 设 D 为 在 xoy 平面上投影区域. (1) 化成一个定积分和一个二重积分 y=y1(x, z) z 0 y=y2(x, z) Dxz y x x=x2(y, z) z 0 x=x1(y, z) Dyz y x 化三次积分的步骤： 投影，得平面区域 穿越法定限，穿入点下限，穿出点上限 对于二重积分，我们已经介绍过化为累次积分的方法 z =0 y = 0 x =0 0 y x 先画图 x 0 z y 1 1 Dxy Dxy : x = 0, y = 0, x+2y =1 围成 z = 0 1 x + 2y + z =1 Dxy 其中 为三个坐标书例计算三重积分 所围成的闭区域 . 面及平面 解: 其中 为三个坐标书例计算三重积分 所围成的闭区域 . 面及平面 典型分析1 6 6 6 x+y+z=6 3x+y=6 2 x 0 z y 6 6 6 x+y+z=6 3x+y=6 2 x 0 z y 3x+y=6 3x+2y=12 x+y+z=6 6 6 6 x 0 z y 4 2 3x+y=6 3x+2y=12 x+y+z=6 6 6 6 x 0 z y 4 2 z = 0 y = 0 4 2 x+y+z=6 x 0 z y 6 6 6 4 2 x 0 z y 6 6 6 D 0 y x24 D 0 y x 6 24 1 找出上顶、下底及投影区域 2 画出投影区域图 Dxy:y = 0, 3x+y = 6, 3x+2y =12 围成 z = 0 不画立体图做三重积分 Dxy 典型分析2 x y z o y2=x y2=x x y z o z = 0 y=0 x y z o 。 。 y2=x 。 0 y x D EX. 计算其中 是由抛物 柱面及平面y=0, z=0, 解： D: 0 y , 0 x y x z 0 D 0 y x 例2. 将化为三次定积分，其中 是由 z = x2+y2 和 z = 1所围的闭区域. 解：先对 z 积分，将 向 xoy 平面投影. z= x2+y2 x2+y2=1 D: x2+y21 z=1 z=1 x y z 0 1 Dxy z=1 z= x2+y2 x y z 0 1 Dxy z=1 z= x2+y2 解2：先对 y 积分，将 向 xoz 平面投影： z= x2+y2 Dxoy: x2 z 1, z=1 1 x1 z= x2+y2 x y z 0 Dxz 1 1 从上面的例子我们可以看到,利用“投影法”来计 算三重积分需要作图,对于简单的图形还比较方便,但 复杂一些的问题容易出错.下面我们介绍的“截面法” 是比较简单的方法,有时可以不作空间图形. 先求二重积分,再求定积分.称为“截面法” 若积分区域在z轴上的投影区域为a , b,对于这 区域内任意一点z,过z作平面平行于xoy面,该平面与区 域相交为一平面区域记作Dz, 0 x z y b z a Dz 于是积分区域可表示为: 这时三重积分可化为先对区域Dz求二重积分, 再对z在 a , b 上求定积分 如果区域Dz可用不等式 y1(z)yy2(z) , x1(y,z)xx2(y,z) 表示,那么三重积分又可以化为如下的三次积分: 为底, d z 为高的柱形薄片质量为 该物体的质量为 面密度 记作 方法2. 截面法 (“先二后一”)(1)化为一个二重积分和一个定积分 例1. 计算其中 是由 z=x2+y2 和 z=1 所围成的闭区域. x y z 0 1 D(z) 1 解：D(z): x2+y2z z0, 1 例2. 计算 解： D(x): 0 y 1x, 0 z 1xy z x y 0 1 1 1 x : 0 x 1 其中 是由平面 x+y+z=1 与三个坐标面所围闭区域. D(x) z=1xy x y 0 1x 1x 0 x z y M(x,y, z) z r N x y z (x, y, z)(r, , z) z = z 2. 利用柱坐标计算三重积分 就称为点M 的柱坐标. 直角坐标与柱面坐标的关系: z 动点M(r, , z) 柱面Sr =常数： 平面z =常数： x 0 y z M r S S z 2. 利用柱坐标计算三重积分 动点M(r, , z) 半平面P 柱面S =常数: r =常数： 平面z =常数： z x 0 y z M r S S P P 2. 利用柱坐标计算三重积分 x z y 0 dr r rd d z 平面z 元素区域由六个坐标面围成： 半平面及+d ; 半径为r及 r+dr的圆柱面； 平面 z及 z+dz； 2. 利用柱坐标计算三重积分 x z y 0 dr r rd d z 底面积 ：r drd dz 平面z+dz 元素区域由六个坐标面围成： 半平面及+d ; 半径为r及 r+dr的园柱面； 平面 z及 z+dz； x z y 0 dr r rd d z 底面积 ：r drd dz dV = . dV 元素区域由六个坐标面围成： 半平面及+d ; 半径为r及 r+dr的圆柱面； 平面 z及 z+dz； 1 Dxy: z = 0 0 x z y Dxy 计算 1 用哪种坐标？ 柱面坐标 I = 0 x z y 1 Dxy Dxy: z = 1 锥面化为: r = z 1 用哪种坐标？柱面坐标 计算 0 x z y 1 Dxy 1 例1. 计算其中 由 与 z=1 所围闭区域. 解： D: x2+y21 z =1 z =r z =0 x y z 0 D z=r z=1 x y z 0 z=r z=1 1 D 其中 为 例2. 计算三重积分 所 解: 在柱面坐标系下 及平面由柱面 围成半圆柱体. 例3. 计算三重积分 解: 在柱面坐标系下 所围成 . 与平面 其中 由抛物面 原式 = 3. 利用球坐标计算三重积分 S r M y z x 0 r =常数 : =常数: 球面S 动点M(r , ) 球面坐标的坐标面 C C r =常数 : =常数 : S S 球面S 半平面P 动点M(r, ,) M y z x 0 P P =常数: 锥面C 球面坐标的坐标面 规定： 球面坐标与直角坐标的关系为 如图， r dr d rsin x z y 0 圆锥面 rd 球面r 圆锥面 +d 球面r+d r 元素区域由六个坐标面围成： d rsin d 半平面 及 +d ； 半径为r及r + dr的球面； 圆锥面及 + d 球面坐标下的体积元素 r dr d x z y 0 d rd 元素区域由六个坐标面围成： rsin d 球面坐标下的体积元素 r 2sin drd d dV dV = 半平面 及 +d ； 半径为r及r + dr的球面； 圆锥面及 + d 例1. 计算 其中 =(x, y, z) | x2+y2+z21, z0. 解：x2+y2+z2=1 r=1 而 0 2 故 用 = 截 得 D() 原积分 x y z 0 x y z 0 z 0 1 1 r=1 例2. 和 x2+y2+z2=a2 所围成闭区域. 解： x2+y2+z2=a2 r=a 原积分 z y x a z y x a r=a z 例3. 计算三重积分 解: 在球面坐标系下 所围立体. 其中 与球面 r R 对r: 从0R积分,得半径 任取球体内一点 0 x z y 0 x z y M