贝叶斯决策理论教学.ppt

第四章 贝叶斯决策理论,贝叶斯分类器 正态分布决策理论 关于分类的错误率分析 最小风险Bayes分类器,Bayes分类器算法和例题 聂曼皮尔逊判别准则 最大最小判别准则 决策树 序贯分类,对x再观察：有细胞光密度特征 ,有类条件概率密度: P(x/ ) =1,2,。如图所示 利用贝叶斯公式 ： 通过 对细胞的再观察，就可以把先验概率转化为后验概率，利用后验概率可对未知细胞x进行识别 。,第四章 贝叶斯决策理论,4-1 Bayes分类器最优分类器、最佳分类器 一、两类问题 例如：细胞识别问题 1正常细胞，2异常细胞 某地区，经大量统计获先验概率P(1),P(2)。若取该地区 某人细胞x属何种细胞 ，只能由 先验概率决定。,设N个样本分为两类1，2。每个样本抽出n个特征， x =（x1， x2， x3， xn）T,通过 对细胞的再观察，就可以把先验概率转化为后验概率，利用后验概率可对未知细胞x进行识别 。,1、判别函数： 若已知先验概率P(1),P(2)，类条件概率密度P(x/ 1)， P(x/ 2)。 则可得贝叶斯判别函数四种形式 ：,2、决策规则：,3、决策面方程： x为一维时，决策面为一点，x为二维时决策面为曲线，x为三维时，决策面为曲面，x大于三维时决策面为超曲面。 例：某地区细胞识别； P(1)=0.9， P(2)=0.1 未知细胞x，先从类条件概率密度分布曲线上查到： 解：该细胞属于正常细胞还是异常细胞，先计算后验概率：,P(x/ 1)=0.2， P(x/ 2)=0.4,4、分类器设计：,二、多类情况：=(1,2,m)，x=(x1,x2,xn) 1.判别函数：M类有M个判别函数g1(x), g2(x), gm(x).每个判别函数有上面的四种形式。 2.决策规则：,另一种形式：,3、决策面方程： 4、分类器设计：,4-2 正态分布决策理论 一、正态分布判别函数 1、为什么采用正态分布： a、正态分布在物理上是合理的、广泛的。 b、正态分布数学上简单，N(, ) 只有均值和方差两个参数。 2、单变量正态分布：,3、（多变量）多维正态分布 （1）函数形式：,(2)、性质： 、与对分布起决定作用P()=N(, ), 由n个分量组成，由n(n+1)/2元素组成。多维正态分布由n+n(n+1)/2个参数组成。 、等密度点的轨迹是一个超椭球面。区域中心由决定，区域形状由决定。 、不相关性等价于独立性。若xi与xj互不相关,则xi与xj一定独立。 、线性变换的正态性Y=AX，A为线性变换矩阵。若X为正态分布，则Y也是正态分布。 、线性组合的正态性。,判别函数：,最小距离分类器：未知x与i相减，找最近的i把x归类,如果M类先验概率相等：,讨论：,未知x，把x与各类均值相减，把x归于最近一类。最小距离分类器。,2、第二种情况：i 相等，即各类协方差相等。,讨论：针对1，2二类情况，如图：,3、第三种情况(一般情况)：为任意，各类协方差矩阵不等，二次项xT x与i有关。所以判别函数为二次型函数。,4-3 关于分类器的错误率分析 1、一般错误率分析：,2、正态分布最小错误率(在正态分布情况下求最小错误率),4-4 最小风险Bayes分类器 假定要判断某人是正常(1)还是肺病患者(2),于是在判断中可能出现以下情况： 第一类，判对(正常正常) 11 ；第二类，判错(正常肺病) 21 ； 第三类，判对(肺病肺病) 22；第四类，判错(肺病正常) 12 。 在判断时，除了能做出“是” i类或“不是” i类的动作以外，还可以做出“拒识”的动作。为了更好地研究最小风险分类器，我们先说明几个概念：,在整个特征空间中定义期望风险, 期望风险：,行动i：表示把模式x判决为i类的一次动作。 损耗函数ii=(i/i)表示模式X本来属于i类而错判为i所受损失。因为这是正确判决，故损失最小。 损耗函数ij=(i/j)表示模式X本来属于j类错判为i所受损失。因为这是错误判决，故损失最大。 风险R（期望损失）：对未知x采取一个判决行动(x)所付出的代价（损耗） 条件风险（也叫条件期望损失）：,条件风险只反映对某x取值的决策行动i所带来的风险。期望风险则反映在整个特征空间不同的x取值的决策行动所带来的平均风险。,最小风险Bayes决策规则：,二类问题：把x归于1时风险： 把x归于2时风险：,4-5 Bayes分类的算法（假定各类样本服从正态分布） 1.输入类数M；特征数n，待分样本数m. 2.输入训练样本数N和训练集资料矩阵X(Nn)。并计算有关参数。 3.计算矩阵y中各类的后验概率。 4.若按最小错误率原则分类，则可根据 3 的结果判定y中各类样本的类别。 5.若按最小风险原则分类，则输入各值，并计算y中各样本属于各类时的风险并判定各样本类别。,例1、有训练集资料矩阵如下表所示，现已知，N=9、N1=5、N2=4、n=2、M=2，试问，X=(0,0)T应属于哪一类？ 解1、假定二类协方差 矩阵不等（12） 则均值:,解2、假定两类协方差矩阵相等=1+2,解1、假定三类协方差不等；,例2：有训练集资料矩阵如下表所示，现已知， N=9、N1=N2=3、n=2、M=3，试问，未知样本 X=(0,0)T应属于哪一类？,可得三类分界线如图所示：,解2、设三类协方差矩阵相等,可得三类分界线如图所示：,作业：在下列条件下，求待定样本x=(2,0)T的类别，画出分界线，编程上机。 1、二类协方差相等，2、二类协方差不等。,作业：有训练集资料矩阵如下表所示，现已知， N=9、N1=N2= N3=3、n=2、M=3，试问，X=(-2,2)T应属于哪一类？,要求：用两种解法a、三类协方差不等；b、三类协方差相等。 编程上机，画出三类的分界线。,4-6 在一类错误率固定使另一类错误率最小的判别准则（聂曼-皮尔逊判决neyman-pearson）,例：两类的模式分布为二维正态 协方差矩阵为单位矩阵1=2=I，设20.09求聂曼皮尔逊准则 T. 解：,所以此时聂曼皮尔逊分类器的分界线为：,由图可知为保证2足够小，边界应向1一侧靠，则1,T与2的关系表如右：,4-7最大最小判别准则：前边的讨论都是假定先验概率不变，现在讨论在P(i)变化时如何使最大可能风险最小，先验概率P(1)与风险R间的变化关系如下：,这样，就得出最小风险与先验概率的关系曲线，如图所示： 讨论：,上式证明，所选的判别边界，使两类的概率相等：,这时可使最大可能的风险为最小，这时先验概率变化，其风险不变,4-8 决策树多峰情况 Bayes分类器只能适用于样本分布呈单峰情况，对多峰情况则不行。 若用决策树，可进行如下步骤分类,整个分类过程可用右图的树表示: 1、基本概念 （1）决策树：二叉树。每个节点都是两类分类器。例如；节点a上的决策规则为： （2）代价（损失）矩阵 定义节点L的代价为：,2、决策树的构造 在构造决策树时，需要考虑以下问题： 1）、如何判断一节点是否为叶子。如右图表示，假定A、B、C、D、E、F各包含50个样本，并有以下的代价矩阵,对于节点a，可以作出以下两个决策之一： 决策1，a不再分割 决策2，a分为两类 决策1的代价为 A1（a）=Ca 节点a的代价 决策2的代价为 A2（a）=（Cb+Cc） 节点b,c的代价和 其中， 为一经验因子，用以防止无限分割下去,只要经验因子2.25，便有A2(a) A1(a)，因此取决策2的代价较小，故应把分为两类。 一般地决策代价为：,2）、选择节点的分割方式： a、根据经验确定。例如，全部样本分为三类，其代价矩阵为,b、根据对样本分布的了解试探确定。如右图所示，将a划分为b，c的方式有两种 c、根据聚类结果来划分。,3)、如何确定各节点分类器。 原则： 、分类器应尽量简单，因此，多采用线性分类器， 、尽量减小分类时所使用的特征，选用最有效的特征进行分类,4-9 序贯分类 迄今为止所讨论的分类问题，关于待分类样本的所有信息都是一次性提供的。但是，在许多实际问题中，观察实际上是序贯的。随着时间的推移可以得到越来越多的信息。 假设对样品进行第 i 次观察获取一序列特征为：X=(x1,x2,xi)T 则对于1，2两类问题, 若X 1，则判决完毕 若X 2 ，则判决完毕 若X不属1也不属2 ，则不能判决，进行第i+1次观察，得X=(x1,x2,xi,x i+1)T ，再重复上面的判决