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第八章 山东交通学院高等数学教研室山东交通学院高等数学教研室 第四节 多元复合函数的求导法则 一、多元复合函数的求导法则 二、多元复合函数的全微分 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 复习回顾 v 一元复合函数 求导法则 微分法则 v 二元复合函数 求导法则 微分法则 若多元复合函数的中间变量不止一个, 结果如何? 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 一、多元复合函数的求导法则 定理 处偏导数连续 , 在点 t 可导, 则复合函数 证明 : 则相应中间变量 且 有增量u ,v , （全导数） 若函数 设 t 取得增量t , 由题设知可微 则 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 ( 全导数公式 ) (t0 时,根式前加“” 号) 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 推广: (1) 中间变量多于两个的情形. 设下面所涉及的函数都可微 (2) 中间变量是多元函数的情形. 如 如 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 (3) 中间变量既有一元函数又有多元函数的情形. 如 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 又如 当它们都具有可微条件时, 有 注意: 这里 表示 f ( x, ( x, y ) )固定 y 对 x 求导 表示f ( x, v )固定 v 对 x 求导 与不同 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 例1 设 解: 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 例2 解: 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 例3 设 求全导数 解: (4) 多元抽象复合函数求导 下列几个例题有助于掌握这方面问题的求导 技巧与常用导数符号. 推广: 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 为简便起见 , 引入记号 例4 设 f 具有二阶连续偏导数, 求 解: 则 令 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 例5 设 全微分 其中f 偏导数，求 解: 具有二阶连续的 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 二、多元复合函数的全微分 设函数 的全微分为 可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, 则复合函数 都可微, 其全微分表达 形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性. 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 例1 例 6 利用全微分形式不变性再解例1 解: 所以 练习 例1 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 内容小结 1 复合函数的求导法则 如 2 全微分形式不变性 不论 u , v 是自变量还是中间变量, 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 思考与练习 解答提示: P31 题7 P31 题7; 8(2) 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 P31 题8(2) 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 1 已知 求 解: 两边对 x 求导,
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