二面角的求法(精华版).ppt

1、掌握二面角的定义法； 2、掌握二面角的三垂线法； 3、掌握二面角的垂面法; 4、掌握二面角的射影面积法; 5、掌握二面角的向量法。 从一条直线出发的两个半平面所组成 的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角 的棱, 这两个半平面叫做二面角的面. 二面角的定义二面角的定义: : 复 习: 2、二面角的表示方法 A B 二面角AB l 二面角 l 二面角CAB D A B C D AB C EF D 二面角CAB E 1、定义 二面角的平面角二面角的平面角: : A B P l 二面角的平面角必须满足： 3）角的两边都要垂直于二面角的棱 1）角的顶点在棱上 2）角的两边分别在两个面内 二面角的平面角的范围: 0180 二面角的大小用它的平面角的大小来度量 以二面角的棱上任意一点为端 点, 在两个面内分别作垂直于棱的 两条射线, 这两条射线所成的角叫 做二面角的平面角。A1 B1 P1 注意: (与顶点位置无关) APB= A1P1B1 一、几何法： 1、定义法:以二面角的棱a上任意一点O为端点，在两个面内 分别作垂直于a 的两条射线OA,OB，则AOB就是 此二面角的平面角。 a O A B 在一个平面 内选一点A向另一平面 作垂线AB ，垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足 为O ，连结AO，则AOB就是二面角的平面角。 3、垂面法:过二面角内一点A作AB 于B，作AC 于C，面 ABC交棱a于点O，则BOC就是二面角的平面角。 a A B C O 2、三垂线法: A B O a P A B C D 过E作EDPC于D， 则BDE就是此二面角的平面角。 连结BD， 过B作BEAC于E， E ABC为正， BE= 在RtPAC中，E为AC中点， 则DE= 在RtDEB中 tan BDE= BDE=arctan 例1:已知正三角形ABC，PA面ABC，且 PA=AB=a， 求二面角A-PC-B的大小。 三垂线法: 几点说明： 定义法是选择一个平面内的一点（一般为这个面的一个 顶点）向棱作垂线，再由垂足在另一个面内作棱的垂线。 此法得出的平面角在任意三角形中，所以不好计算，不是 我们首选的方法。 三垂线法是从一个平面内选一点（一般为这个面的一个 顶点）向另一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线，连结这 个点和棱上垂足。此法得出的平面角在直角三角形中，计 算简便，所以我们常用此法。 垂面法需在二面角之间找一点向两面作垂线，因为这 一点不好选择，所以此法一般不用。 以上三种方法作平面角都需写出作法、证明、指出平面角。 射影法是在不易作出平面角时用。在解答题中要先证明射 影面积公式，然后指出平面的垂线，射影关系，再用公式,这 种方法虽然避免了找平面角，但计算较繁，所以不常用。 练习1:正方体ABCD-A1B1C1D1中， E为棱AA1的中点，求平面EB1C和平面 ABCD所成的二面角。 A B C D A1 B1 C1 D1 E E F G A B D C A1 B1 D1 C1 H F G B CD A H 练习2：在正方体AC1中，E,F分别是中 点,求截面A1ECF和底面ABCD所成的锐 二面角的大小。 E F G A B D C A1 B1 D1 C1 F G B CD A F E A1C 练习2：在正方体AC1中，E,F分别是中 点,求截面A1ECF和底面ABCD所成的锐 二面角的大小。 练习3：三棱锥P-ABC中，PA 平面 ABC，PA=3，AC=4，PB=PC=BC（ 1）求二面角P-BC-A的大小； （2 ）求二面角A-PC-B的大小。 P A B C D E 1、方向向量法: 二、向量法： l A B C D 将二面角转化为二面角的两个面 的方向向量（在二面角的面内垂 直于二面角的棱且指向该面方向 的向量）所成的角。 x y z 解：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， 不妨设正方体的棱长为2，BD的中点为O，则 B(2，2，0)，A1(2，0，2)，C1(0，2，2)，O（1，1，0） A1OBD，C1OBD 即为二面角A1-BDC1 的平面角。 二面角A1BDC1的大小为 求二面角的大小，先求出两个半平面的法向 量的夹角，然后根据二面角与其大小相等或 互补求出二面角的大小。 m n 如图：二面角的大小等于- 2、平面法向量法: 2、平面法向量法: 求二面角的大小，先求出两个半平面的法向 量的夹角，然后根据二面角与其大小相等或 互补求出二面角的大小。 m n 如图：二面角的大小等于 例4:在底面是直角梯形的四棱锥锥SABCD 中，ABC=90，SA面ABCD， AD= SA=AB=BC=1， 求面SCD与面SBA所成的二面角的大小. x y z 解：以A为原点，如图 建立空间直角坐