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数字信号处理 第一部分 离散时间信号与系统 1.1 离散时间信号 o将连续时间信号x(t)按照时间间隔T抽样，就形 成了只有在离散时间点t=nT上才有非零值的信 号，称为离散时间信号，其数学模型是将x(t)乘 以单位冲激串T(t)： 离散时间信号 o如果将周期T归一化为1，xnT就成为离散 时间序列xn（discrete time series） o离散时间信号尽管在时间上是离散的，但在 幅度上仍然是连续变化的，因此仍然是模拟 信号，只有经过量化器，也就是将各离散时 间点上的信号的幅度归并到有限的若干个幅 度电平上，并用数字来表示，才能称其为数 字信号（digital signal）。 1.2 典型的离散时间信号 o单位数字冲激信号n 典型的离散时间信号 o单位阶跃序列 典型的离散时间信号 o门序列 典型的离散时间信号 o正弦序列 o正弦序列本身就有一个频率f，再加上一个采样 频率fs=1/T，就产生了一个f与fs的关系问题，令 ： o称为圆周频率，它是一个相对频率量，也是一个 归一化的频率，记： 典型的离散时间信号 o实际上，任何序列都可以表示成n的移位 加权和，这是一个非常重要的概念，因为我 们在讨论 信号通过系统时 ，只需要讨论单 位数字冲激通过系统时 的响应，即单位冲 激响应，然后将系统对 各移位的冲激的响 应叠加，就得到系统的输出。 o整个一部信号与系统的理论，就是建立在 对信号用不同形式分解，然后再综合的基 础上的。 典型的离散时间信号 o时域分析，就是将信号分解为n的移位 加权和 o频域分析，就是将信号分解为不同频率 的正弦（sin）信号之和 o复频域分析，就是将信号分解为不同的 复指数之和 1.3 离散线性位移不变系统 o一个离散时间系统，可以抽象为一个变换或映射 ，把输入序列xn变换为输出序列yn: o我们来看两个例子： 例1：yn=xn+ayn-1 o这是一个一阶差分方程，而且是递归的，其框图如 下： 离散线性位移不变系统 o一个离散的时间系统总是由延时器、加法器与数乘 器组成的： 例2:yn=b0xn+b1xn-1+b2xn- 2 o这是一个三点的加权平均器 离散线性位移不变系统 o如果系统的输入xn是单位冲激n，则输 出yn就是系统的单位冲激响应hn。在例2 中，若xn=n，则： hn=b0n+b1n+b2n o这是一个有限冲激响应系统（FIR：Finite Impulse Response），而例1由于有递归 ，因 而是一个无限冲激响应系统（IIR：Infinite Impulse Response）。 系统的线性性 o设 x1n y1n x2n y2n o如果满足 ax1n+bx2n ay1n+by2n o则称系统是线性的 系统的位移不变性 o设 xn yn o如果满足 xn-n0 yn-n0 o则称系统是位移不变的 线性位移不变系统 o同时具有线性性与位移不变系统的离散时间 系统，称为线性位移不变系统。 o只有线性位移不变系统，才可以将表示为单 位数字冲激的移位加权和的输入信号中的每 一个数字冲激通过系统，然后将其响应相加 ，得到总的输出，这是讨论问题的基础。 1.3 离散信号通过线性位移不变系统 o将输入信号xn表示为n的移位加权和： o将其中的每一个冲激xkn-k通过系统，得到相应 的响应xkhn-k，然后将所有的输出叠加，得到总 的输出： o称为xn与hn的卷和，其性质类 似于连续 系统中的 卷积。 卷和示例 xn=hn=n+ n-1+ n-2 o求 oyn=n+ 2n-1+3n-2+2n-3+n-4 数字信号处理 第二部分 Z变换及离散时间系统分析 2.1 Z变换的定义 o给定一个离散信号xn，n=(-,)，可以直接 给出xn的Z变换： oxn的Z变换也可以由拉普拉斯变换推导出来 2.2 Z变换与拉普拉斯变换的关系 o信号f(t)的拉普拉斯变换的定义 o式中，s=+j，因此可以将上式写为： o由此可以看出拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系 Z变换与拉普拉斯变换的关系 o从z=es=e+j=eej可以看出拉氏变换所在的S平面和Z变换所在 的Z平面之间的映射，即直角坐标系和极坐标系之间的映射。 oS平面的j轴（=0）映射为Z平面的单位圆（r=1） oS平面的左半平面（0）映射为Z平面的单位圆外（r1） Z变换与拉普拉斯变换的关系 o时域离散，则频域是周期的 o在Z平面上，=t=2f / fs，fs是采样频率。 o当频率从0fs时，从02 o或者说，当频率从-fs/2变到fs/2时，从- o每当变化2/T时，Z平面上完成一个圆周，从而体现其 周期性 o当=0时，拉氏变换就演变为傅里叶变换，即在S平面上 ，傅里叶变换始终是在j轴上进行的 o映射到Z平面上，若变量z仅在单位圆上取值，Z变换也 就演变成为傅里叶变换 2.3 常用信号的Z变换 o单位数字冲激 n o只有当k=0时，n=1，这时 z-k=1 o单位阶跃 序列un 常用信号的Z变换 o指数序列e-anT o正弦序列sin(nT) o利用欧拉公式sinx=(1/2j)(ejx-e-jx)得： 利用指数Z变换的结果 2.4 Z变换的性质 o将xn及其Z变换X(z)之间的关系化为 xn X(z) o设a，b为常数，则 oax1n+bx2n aX1(z)+bX2 (z) o这就是我们熟悉的线性性 Z变换的性质 o移位性 oxk+NzNX(z) oxk-N z-NX(z) o由于时移是数字系统的基本运算之一（其余 两种是数乘和求和），在时域作单位时延（ 即延时一个样本），相应的Z变换多一个z-1 因子，因此，往往将z-1用来表示单位时延。 Z变换的性质 o卷和定理 ox1n*x2n X1(z)X2(z) o这是一个极为重要的定理，类似于模拟系统 的卷积定理，将时域内比较繁琐的卷和运算 ，转化为Z域内的算术乘法。 2.5 离散信号通过线性位移不变系统 o对于线性位移不变系统，满足以下关系： o其中，yn=xn*hn Y(z)=X(z)H(z) 数字信号处理 第三部分 离散时间信号的傅里叶变换 3.1 连续时间信号的傅里叶变换 3.2 离散时间序列的傅里叶变换(DTFT) o定义 o设线性位移不变系统的单位冲激响应为hn，则 该系统的频率响应为： o这就是离散时间序列的傅里叶变换，是以2为周 期的周期函数，也可以将其看成周期信号H(j) 在频域内展开的傅里叶级数，其傅里叶系数即是 hn o由Z变换的定义，容易得到H(j)=H(z)|z=ej DTFT的性质 o即离散时间序列的傅里叶变换就是仅在单位圆上取值的 Z变换。 o线性性 o时移性：设xn X(j)，则 o时域卷积定理 若yn=xn*hn 则Y(j)=X(j)H(j) o频域卷积定理 o若yn=xn hn 则Y(j)=X(j)*H(j) o注意：时域是离散的，频域是周期的，故上述积分只在 一个周期内（-，）进行 DTFT的性质 o能量定理（Parseval定理） o信号在时域的总能量等于其在频域的总能量 o这个结论是显然的，因为无论是时域的xn，还是频域的 X(j)，它们所表征的是同一个信号，其能量当然应该是 相同的。 o由于离散时间信号的频域表示是周期的，则其频域的总能 量是在一个周期内做积分，因此|X(j)|2是信号的能量谱 ，而|X(j)|2是信号在d这一极小的频带内的能量 3.3 离散傅里叶变换（DFT） oDTFT是离散时间序列的傅里叶变换，其时域是离散的 ，谱是周期的，但还是连续的，仍然不能用计算机来 处理，因为计算机要求时域和频域都是离散的，实际 上是要求时域和频域都即是离散的，也是周期的。 o时域的连续的非周期信号频域连续非周期谱（FT ） o时域的周期信号频域离散谱（FST） o时域的离散信号频域周期谱（DTFT） o时域的离散周期信号频域离散周期谱（DFT） o在DFT中，变换的两边都是离散的，从而才是真正能用 计算机来做数字信号处理的变换对 o两边都是周期的，从而处理可以只在一个周期内进行， 这有两个重要的意义：一是所做的处理是有限的（这对 计算机来说是必须的）；二是只在一个周期内就可以保 留全部的信息（这对准确处理来说是必须的）。 信号的离散周期化 o工程中的实际信号往往是连续非周期的，为了进行 DFT，就必须将其离散周期化 o离散化就是采样的过程 o周期化分为两种情况: n若xn是有限长序列，长度为N，则将该N点序列看成是 周期信号的一个周期，进行周期化延拓; n若xn是无限长序列，首先将其截为长度为N点的有限 长序列，然后再做周期化延拓。截尾的过程，必然带来 失真，因此要研究各种截尾的方法，这也就是各种加窗 算法的由来. 信号的离散周期化 DFT的定义 o这是一个以N为周期的信号，k表示它是离散的，每经 过N点，在单位圆上转一周 其中 特别注意 旋转因子 DFT的性质 o线性性 oDFTax1n+bx2n=aX1k+bX2k o移位特性 oDFTxn+m=W-kmXk oDFTxn-m=WkmXk o由于xn是周期序列中的一个周期，所以对 xn的移位应该是整个序列的移位，即前面 的移出去，后面的移进来，移位后仍然是N 点的周期序列，这就称为循环移位 循环移位 o非周期函数移位 周期函数循环移位 DFT的性质 o能量定理（Parseval定理） o时域一个周期内的信号的能量和频域内一个周期的 能量是相等的，这个结论的正确性是显然的。 DFT的性质 o时域的循环卷和 o式中的n mod N表示以N为模对n求余 o做循环卷和时，将一个信号翻摺，是将整个序列 翻摺，而不仅仅是将一个周期翻摺 o在翻摺后移位时，在一个周期内，有移出就有移 入，求和始终是在一个周期内进行、 o循环卷和的结果yn也是周期的，周期仍然是N 数字信号处理 第四部分 模拟信号的数字化 4.1 Nyquist采样定理 o截止频率为fm的带限信号，由相距不大的于1/2fm的 均匀间隔上的采样序列唯一的确定。 oT=1/2fm称为Nyquist间隔（既不失真的最大采样间 隔） ofs=q/T=2fm称为Nyquist频率（既不失真的最低采样 频率） o由于理想低通滤波器是不可实现的，实际的低通滤波 器都有上升时间和下降时间，因此工程上往往采用 fs2.53fm 不满足Nyquist条件会产生频谱混叠 4.2 采样 o首先让信号通过一个低通滤波器（称为防混叠滤波 器），使其成为带限信号 o往往将采样频率选择为防混叠滤波器带宽的2.5 3倍，以保证无混叠产生 o采样脉冲尽可能的窄，以便接近理想的冲激序列， 否则，采样信号会产生Sa(x)的包络调制 o使用采样/保持器（S/H），使采样得到的电平保 持一段时间不变化，以便A/D变换器有充分的时间 将采样信号量化 4.3 量化 o采样后的信号，时间上是离散的，但幅度仍然是连续的， 还不是真正的数字信号，必须对其幅度作量化，即将离散 时间点上的幅度归入有限数目的等级 o这个过程称为A/D变换，目前都是用专门的A/D变换器来 完成，不同的A/D变换器，工作方式不同，如逐次逼近， 闪烁(flash)，积分，-调制等 逐次逼近A/D变换器 o数字输出从最高值开始，通过D/A与输入比较，决 定该位是0还是1，以2n逐次降低，逐级比较，最 后得到从最高位到最低位的数字输出 on位转换至少需要n个时钟周期，n越大，即分辨率 越高，转换速度就越慢 闪烁式A/D转换器 o输入信号同时与2n-1个不同的参考电平进行比较 o在同一个时钟周期内完成转换，转换速度最快，其精 度取决于参考电平的精度与分级的精度 4.3 量化噪声 oA/D的量化分级越细，精度越高 o8-bit 256级 o12-bit 4096级 o两个量化等级之间的步长q越小，精度越高 ，因为舍入误差越小，但无论如何还是会引 入误差，这种因为量化而引入的误差，称为 量化噪声（量化误差） 量化噪声 o设量化噪声在步长q上式均匀分布的，则因为量 化而引入的均方误差为： o其均方根值为： 量化噪声 o设A/D的满度正向电压为vi q=2vi/2n vi=2n-1q S/N=20 log10vi/erms =(6.02n+4.77)dB o即每增加1bit，S/N提高约6dB o12bit的A/D S/N70dB o16bit的A/D S/N94dB 量化噪声 o量化噪声的降低（即S/N的提高），是要付