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大地测量学基础大地测量学基础 第九讲第九讲 椭球面三角形的解算椭球面三角形的解算 一系大地测量教研室一系大地测量教研室 一、椭球面三角形解算公式 地面三角锁网经过归算以后，得到了椭球面上以大地线组成 的三角锁网。为了在椭球面上推算各点的大地坐标，就必须知 道边长；在概略计算的过程中，为了计算球面角超和归心改正 ，也要求出各边的近似球面边长。这就需要进行椭球面上三角 形解算。 第九讲 椭球面三角形的解算 设有椭球面三角形ABC，三边都 是大地线，如图所示。它的内角为A 、B、C。边他为a、b、c。椭球面 三角形的解算公式，推导比较冗繁 ，这里不加推导，直接给出结果： C A B a b c (3.45) 一、椭球面三角形解算公式 式中 第九讲 椭球面三角形的解算 （3.45）式就是椭球面三角形的正弦定理，式中：KA、KB 、KC是各顶点的高斯曲率 (3.46) K是三顶点的平均高斯曲率： 一、椭球面三角形解算公式 第九讲 椭球面三角形的解算 RA 、 RB 、 RC是各顶点的平均曲率半径，R是三顶点的平均纬 度处的平均曲率半径 K是三顶点的平均高斯曲率： 由于椭球面上各点的曲率不同，因而在这个面上解 算三角形就比较复杂。鉴于地球椭球的扁率很小，通常 大地测量中所组成的椭球面三角形的边长又较小，在这 种情况下，可以把椭球面三角形当作球面三角形来看待 。 一、椭球面三角形解算公式 第九讲 椭球面三角形的解算 如果各点的曲率相同，椭球就变成球，式中 ： 椭球面角A、B、C变成球面角A0、B0、C0，于是（ 3.45）式就变成球面三角的正弦定理： 即 (3.49) 二、化为球面三角形解算的条件 第九讲 椭球面三角形的解算 我们以椭球面三角形ABC三顶点平均纬度处的平 均曲率半径R为半径作一辅助球，用来代替椭球，称 为密切球。在球面上作与ABC对应边相等的球面三角 形A0B0C0。研究椭球面三角形和球三角形对应角的关 系： 比较（3.45）式和（3.49）式，可得： (3.50) 二、化为球面三角形解算的条件 第九讲 椭球面三角形的解算 如图所示，设 为三角形ABC的面积 ，为三角形的球面角 超，则有 球面三角形 (3.51) A0 B0C0 a c b 二、化为球面三角形解算的条件 第九讲 椭球面三角形的解算 将（3.51）式代 入（3.50）式可得 球面三角形 (3.52) A0 B0C0 a c b 二、化为球面三角形解算的条件 第九讲 椭球面三角形的解算 从实际三角网解算问题分析 可以得出如下结论（即椭球面三 角形当球面三有形解算的条件） 球面三角形 A0 B0C0 a c b 1.精度要求为角度误差小于0.001秒，连长误差小于0.001米 2.三角形各边长小于200公里 3.球的半径取三顶点平均纬度处的平均曲率半径 4.如果边长为200400公里，应将椭球面三角形的各角加 上 椭球面改正数，化为球面三角形。 三、勒让德定理 第九讲 椭球面三角形的解算 定理：如果平面三角形和球面三角形对应边相等，则 平面角等于对应球面角减去三分之一球面角超。 球面三角形与平面三角形的关系 A0 B0 C0 A1 B1 C1 a a c bb c 三、勒让德定理 第九讲 椭球面三角形的解算 如图所示， A0B0C0是球面三角形，球面角超 为 ；另外一平面三角形A1B1C1 ，它们的对应边 相等，设为a、b、c。依勒让德定理，平面三角形 的角度与球面三角形的角度有以下关系： 式中 (3.53) 四、应用勒让德定理解算球面三角形 第九讲 椭球面三角形的解算 在球面三角形中，设A0、B0、 C0为已知角， a为 已知边， b 、 c为所求边。依勒让德定理解算球 面三角形时，首先按上式计算平面三角形各内角 A1、B1、 C1 ，进而按平面三角正