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收敛定理: 光滑, 则则在每一点的傅里叶级级数收敛敛 于 f 在点 x 的左、右极限的算术平均值,即 其中为为的傅里叶系数. 定理 若以 为为周期的函数在上按段 1 1.5.3 Fourier级数的性质 定理1 (贝贝塞尔(Bessel)不等式) 若函数 f 在 上可积积, 则则 为为 其中 的傅里叶系数. (1)式称为为Bessel不等 式. 2 证 令考察积分 由于 根据Fourier系数公式可得 3 根据Fourier系数公式可得 对对于的积积分. 应应用三角函数系的正交性, 有 4 将(3), (4)代入(2)，可得 因而 它对对任何正整数m成立. 而 为为有限值值, 所以正项级项级 数 的部分和数列有界, 因而它收敛敛且有不等式(1)成立. 5 推论论1 若 f 为为可积积函数, 则则 因为为(1)的左边级边级 数收敛敛, 所以当 时时, 通项项 , 亦即有 与, 这这就是 (5) 式, 这个推论称为Riemann引理. 6 证证 由 于 所以 推论2 若 f 为可积函数,则 7 其中 式右端两项积项积 分的极限在 时时都等于零. 所以 左边的极限为零. 同样可以证明 显见 与 和 f 一样在 上可积.由推论1,(7) 8 当 t = 0 时, 被积函数中的不定式由极限 来确定. 上可积积, 则则它的傅里叶级级数的部分和可写成 定理2 若 是以2 为为周期的函数, 且 在 9 证证 在傅里叶级级数部分和 中, 用傅里叶系数公式代入, 可得 10 令, 得 因此在上的积积分等于上的积积 分, 再由下 式, 即 由上面这个积分看到,被积函数是周期为 的函数, 11 就得到 (8)式也称为为 f 的傅里叶级级数部分和的积积分表达式. 12 现在证明 (收敛定理).重新叙述如下: 光滑, 则则在每一点的傅里叶级级数收敛敛 于 f 在点 x 的左、右极限的算术平均值,即 其中为为的傅里叶系数. 定理 若以 为为周期的函数在上按段 13 证 只要证明在每一点 x 处下述极限成立: 即 或证明同时有 14 与 先证证明 (10) 式. 对对 (9) 式积积分后得到 15 由于上式左边为边为 偶函数, 因此两边边乘以 后 又得到 16 从而(10)式可改写为为 令 17 取极限得到 则则函数 在点再令右连续连续 . 因为为 在 上至多只有有限个第一类间类间 断点, 所以 在 上可积积. 根据定理1和推论论
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