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目录 上页 下页 返回 结束 转化 可分离变量微分方程 第二节 解分离变量方程 可分离变量方程 第七章 1 目录 上页 下页 返回 结束 分离变量方程的解法: 设 y (x) 是方程的解, 两边积分, 得 则有恒等式 则有 称为方程的隐式通解, 或通积分. 设左右两端的原函数分别为 G(y), F(x), 2 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 求微分方程的通解. 解: 分离变量得 两边积分 得 即 ( C 为任意常数 ) 或 说明: 在求解过程中 每一步不一定是同解 变形, 因此可能增、 减解. ( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 ) 3 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 解初值问题 解: 分离变量得 两边积分得 即 由初始条件得 C = 1, ( C 为任意常数 ) 故所求特解为 4 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 求下述微分方程的通解: 解: 令 则 故有 即 解得 ( C 为任意常数 ) 所求通解: 5 目录 上页 下页 返回 结束 练习: 解法 1 分离变量 即( C 0 ) 解法 2 故有 积分 ( C 为任意常数 ) 所求通解: 积分 6 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 子的含量 M 成正比,求在 衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律. 解: 根据题意, 有 (初始条件) 对方程分离变量, 即 利用初始条件, 得 故所求铀的变化规律为 然后积分: 已知 t = 0 时铀的含量为 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原 7 目录 上页 下页 返回 结束 例5. 成正比,求 解: 根据牛顿第二定律列方程 初始条件为 对方程分离变量, 然后积分 : 得 利用初始条件, 得 代入上式后化简, 得特解 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 降落伞下落速度与时间的函数关系. t 足够大时 8 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 1. 微分方程的概念 微分方程;定解条件; 2. 可分离变量方程的求解方法: 说明: 通解不一定是方程的全部解 . 有解 后者是通解 , 但不包含前一个解 . 例如, 方程 分离变量后积分; 根据定解条件定常数 . 解; 阶;通解; 特解 y = x 及 y = C 9 3. 解微分方程的步骤-先
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