MATLAB编程基础第7讲--数值微积分、多项式.ppt

MATLAB编程基础 之 数值微积分、多项式 第七讲 Date1 3.7 MATLAB数值积分与微分 3.7.1 差分和偏导数 1. 差分 在MATLAB中，没有直接提供求数值导数的函数，只有计算 向前差分的函数diff，其调用格式为： DX=diff(X)：计算向量X的向前差分，DX(i)=X(i+1)-X(i)， i=1,2,n-1。 DX=diff(X,n)：计算X的n阶向前差分。例如， diff(X,2)=diff(diff(X)。 DX=diff(A,n,dim)：计算矩阵A的n阶差分，dim=1时(缺省状 态)，按列计算差分；dim=2，按行计算差分。 Date2 例1 差分运算示例 命令如下： A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18; % 生成1维矩阵 A1 = reshape(A,6,3) % 转换为36维矩阵 A1 = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 B1 = diff(A1) % 求1维1阶差分 B1 = 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 B2 = diff(A1,1,2) % 求2维1阶差分 B2 = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 B3 = diff(A1,2) % 求1维2阶差分 B3 = 0 0 0 0 0 0 Date3 2. 梯度和偏导数 二元及多元函数F(x,y，)的求导 FX=gradient(F) FX,FY=gradient(F) =gradient(F,h) Date4 例2求二元函数的偏导数 % 生成二元函数 v = -2:0.2:2; x,y = meshgrid(v); z = x .* exp(-x.2 - y.2); % 绘制曲面，如图3-4所示 figure(1) mesh(x,y,z); px,py = gradient(z,.2,.2); % 求偏导数 figure(2) contour(v,v,z) % 绘制等高线，如图3-5所示 hold on quiver(v,v,px,py) % 绘制矢量场图，小箭头表示梯度 hold off Date5 数值积分 数值积分基本原理 求解定积分的数值方法多种多样，如简单的梯形 法、辛普生(Simpson)法、牛顿柯特斯(Newton- Cotes)法等都是经常采用的方法。 它们的基本思想都是将整个积分区间a,b分成n个 子区间xi,xi+1，i=1,2,n，其中x1=a，xn+1=b。这 样求定积分问题就分解为求和问题。 Date6 3.7.2 一元函数的数值积分 数值积分的实现方法 1变步长辛普生（Simpson）法（精度较高，较常使用） 基于变步长辛普生法，MATLAB给出了quad函数来求定积分 。该函数的调用格式为： I,n=quad(fname,a,b,tol,trace) 其中fname是被积函数名。a和b分别是定积分的下限和上限 。tol用来控制积分精度，缺省时取tol=0.001。trace控制是否 展现积分过程，若取非0则展现积分过程，取0则不展现，缺 省时取trace=0。返回参数I即定积分值，n为被积函数的调用 次数。 Date7 函数部分 function f=quad1(x) f=1./(x.3-2*x-5); %编制函数m文件 调用命令 Q = quad(quad1,0,2) % 在同一目录下，计算积分值 Q = -0.4605 Date8 求定积分。 (1) 建立被积函数文件fesin.m。 function f=fesin(x) f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6); (2) 调用数值积分函数quad求定积分。 S,n=quad(fesin,0,3*pi) S = 0.9008 n = 77 Date9 2. 自适应Lobatto法(精度较高，最常使用) q=quadl(fun,a,b) q=quadl(fun,a,b,tol) % 采用内联函数形式，第二个参数为变量 例3-25求Q=sin2x+cosx从2*pi到0的定积分 f = inline(sin(2*x)+cos(x).2,x); Q = quadl(f,0,2*pi) % 求取积分值 Q = 3.1416 训练任务：请采用编制m函数求该函数积分 Date10 3.7.3 多重数值积分 使用MATLAB提供的dblquad函数就可以 直接求出上述二重定积分的数值解。该 函数的调用格式为： I=dblquad(f,a,b,c,d,tol,trace) 该函数求f(x,y)在a,bc,d区域上的二 重定积分。参数tol，trace的用法与函数 quad完全相同。 Date11 计算二重定积分 (1) 建立一个函数文件fxy.m： function f=fxy(x,y) global ki; ki=ki+1; %ki用于统计被积函数的调用次数 f=exp(-x.2/2).*sin(x.2+y); (2) 调用dblquad函数求解。 global ki;ki=0; I=dblquad(fxy,-2,2,-1,1) ki I = 1.57449318974494 ki = 1038 （3）匿名函数方法 f = (x,y)y*sin(x)+x*cos(y); % 编写匿名函数，将句柄赋给f S = dblquad(f,pi,2*pi,0,pi) % 计算二重积分 Date12 3.8 多项式 3.8.1 多项式的构造 使用行向量表示多项式的系数，行向量中各元素按多项式 次数从高到低排列。即多项式P(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0 的系数向量P为an an-1a1 a0。 P=poly(A):通过n阶方阵A生成特征多项式p,A为特征多项式 的根，满足 P(A)=anAn+an-1An-1+a1A+a0 P=poly(r):通过向量r= r1 r2 rn方阵A生成多项式,向量元素 为多项式的根，即满足(x-r1) (x-r2)(x-rn)= anxn+an-1xn- 1+a1x+a0 S=poly2str(P,s):将多项式系数行向量表达形式P转换成变量 为s的标准多项式形式S。 Date13 例3-29求多项式 r = 1 2 3; % 生成向量r P1 = poly(r) % 计算根为r的多项式 P1 = 1 -6 11 -6 S1 = poly2str(P1,x) % 转换成变量为x的标准形式 S1 = x3 - 6 x2 + 11 x - 6 A = magic(3) % 创建3阶魔方矩阵 P2 = poly(A) % 计算方阵的特征多项式 P2 = 1.0000 -15.0000 -24.0000 360.0000 S2 = poly2str(P2,s) % 转换成变量为s的标准形式 S2 = s3 - 15 s2 - 24 s + 360 Date14 3.8.2多项式的运算 1.多项式的根 R=roots(P)：求多项式向量P的根 p = 1 -6 -72 -27; % 多项式向量p r = roots(p) % 求多项式的根 Date15 2.多项式的值 y=polyval(p,x)：计算多项式向量为p变量为x时的数值y，x可以是向量也可以是矩阵 例3-31计算多项式的值 p = 3 2 1; % 创建一个多项式向量 x = 5,7,9; % 变量为向量形式 yx = polyval(p,x) % 计算多项式的值 yx = 86 162 262 A = pascal(4) % 变量为矩阵形式 A = 1 1 1 1 1 2 3 4 1 3 6 10 1 4 10 20 ya = polyval(p,A) % 计算多项式的值 ya = 6 6 6 6 6 17 34 57 6 34 121 321 6 57 321 1241 Date16 3.多项式的乘法 c=conv(u,v)：求向量为u的多项式与向量为v的多项式的乘积c。 例3-32求（x2+2x+6）(x3+2)的乘积 a = 1 2 6; b = 1 0 0 2; % 生成多项式向量 c = conv(a,b) % 计算乘积 s = poly2str(c,x) % 标准形式表示 c = 1 2 6 2 4 12 s = x5 + 2 x4 + 6 x3 + 2 x2 + 4 x + 12 训练任务: （x4+2x+6）(x3+2x+6) Date17 3.conv,convs多项式乘运算 例:a(x)=x2+2x+3; b(x)=4x2+5x+6; c = (x2+2x+3)(4x2+5x+6) a=1 2 3;b=4 5 6; c=conv(a,b) or =conv(1 2 3,4 5 6) c = 4.00 13.00 28.00 27.00 18.00 p=poly2str(c,x) p = 4 x4 + 13 x3 + 28 x2 + 27 x + 18 Date18 4.多项式的除法 c=deconv(v, u)：v为被除数，u为除数，q返回商，余数为r。 例3-33求（2x3+4x2+8x+3）(x2+2x+3) v = 2 4 8 3; u = 1 2 3; % 生成多项式向量 c = conv(v,u) % 计算多项式乘积 c = 2 8 22 31 30 9 q1,r1 = deconv(c,v) % 求商，整除r1为0，商多项式与u相同 q1 = 1 2 3 r1 = 0 0 0 0 0 0 q2,r2 = deconv(v,u) % 多项式求商，带余数 Date19 4.deconv多项式除运算 a=1 2 3; c = 4.00 13.00 28.00 27.00 18.00 d=deconv(c,a) d =4.00 5.00 6.00 d,r=deconv(c,a) 余数 c除a后的整数 Date20 5.多项式微分 matlab提供了polyder函数多项式的微分。 命令格式： polyder(p): 求p的微分 polyder(a,b): 求多项式a,b乘积的微分 p,q=polyder(a,b): 求多项式a,b商的微分 例：a=1 2 3 4 5; poly2str(a,x) ans = x4 + 2 x3 + 3 x2 + 4 x + 5 b=polyder(a) b = 4 6 6 4 poly2str(b,x) ans =4 x