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第四节 一元复合函数 求导法则 本节内容: 一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分 微分法则 多元复合函数的求导法则 第九章 1 一、多元复合函数求导的链式法则 定理. 若函数 处偏导数连续, 在点 t 可导, 则复合函数 且有链式法则 中间变量是一元函数的情形 若定理中 说明: 偏导数连续减弱为 偏导数存在, 则定理结论不一定成立. 2 若定理中 说明: 例如: 易知: 但复合函数 偏导数连续减弱为 偏导数存在, 则定理结论不一定成立. 3 下列两个例题有助于 称为混合偏导数 在计算时注意合并同类项! 设 掌握这方面问题的求导技巧。 常用导数符号 4 推广: 1、 中间变量多于两个的情形. 例如 , 设下面所涉及的函数都可微 . 2、 中间变量是多元函数的情形.例如, 5 3、 中间变量只有一个的情形 例如: 注: 由于是一元函数,则它对的导数应该 采用一元函数的导数记号 例1. 设 求全导数 解: 6 又如, 当它们都具有可微条件时, 有 注意: 这里 表示固定 y 对 x 求导,表示固定 v 对 x 求导 口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导 与不同, 7 例1. 设 解: 8 例2 设 解: 9 求 例3 已知 f 可微， 10 例4 已知连续,求 解 11 例5 已知 求 解 f 具有二阶连续偏导数, 12 例6. 设 f 具有二阶连续偏导数, 求 解: 令 则 13 例7 已知 解: 14 主讲教师: 王升瑞 高等数学 第七讲 15 二、多元复合函数的全微分 设函数 的全微分为 可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, 则复合函数 都可微, 其全微分表达 形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性. 16 例1 . 例 1. 利用全微分形式不变性再解 解: 所以 17 解 例2. 已知 18 的全微分. 例3. 计算函数 解: 19 例4. 设 解法1 利用公式有 20 例4. 设 解法2 利用微分形式的不变性有 21 内容小结 1. 复合函数求导的链式法则 “分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导” 例如, 2. 全微分形式不变性 不论 u , v 是自变量还是因变量, 22 习题 B2(1)求下列函数的偏导数 证明 设 当 时，于是： 证明： 因此 23 作业 P82 2; 4; 8（1） （2）9; 12(2); 24 思考与练习 解答提示: P82 题7 P82 题7; P131 题11 2
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