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文档简介

31 微分中值定理 32 函数单调性与曲线的凹凸性 33 函数的极值与最值 34 函数图形的描绘 35 洛必达法则 36 泰勒（Taylor)公式 3.2 函数单调性与曲线的凹凸性 一、函数的单调性 二、曲线的凹凸性 一、函数的单调性 定理1（函数单调性判别法） 1. 函数单调性的判别法 证应用拉氏定理,得 例1 解 注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数 在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导 数符号来判别一个区间上的单调性 几何上看：单调区间的 分界点是使f (x)=0的点. 例2 讨论函数 y = x - sinx 的单调性. 解 y=1-cosx0， y=x-sinx在(- ，+)上单调增加 2. 单调区间的求法 问题:如例1，函数在定义区间上不是单调的， 但在各个部分区间上单调 定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调 的，则该区间称为函数的单调区间. 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间 的分界点 例3 解 单调区间为 注:区间内个别点导数为零或不存在 , 不影响该区间内的单调性. 讨论函数的单调性可以按以下步骤进行： 1）确定函数 f (x)的定义域； 2）求 f (x)，找出 f (x)=0和 f (x)不存在的点， 以这些点为分界点，把定义域分成若干区间； 3）在各个区间上判别 f (x)的符号，以此确定 f (x) 的单调性. 例4 解 单调区间为 例5 3. 利用单调性证明不等式 证 。 例6 证明当x0时， 证令 F(x)在(0,+)内单调上升，又F(0)=0，F(x)在x=0处连续， 例7 证明方程 有且仅有一个实根. 证明： 又 由介值定理： f (x) 在（-，+）上有且仅有 一个实根。 f (x)在（-，+）上单调上升。 二、曲线的凹凸性 问题:如何研究曲线的弯曲方向? 图形上任意弧段位 于所张弦的下方 拐点 图形上任意弧段位 于所张弦的上方 1.曲线凹凸与拐点的定义 定义1 1.曲线凹凸与拐点的定义 定义1 拐点 2. 曲线凹凸的判定 定理2（曲线凹凸性判别法） 例8 解 注意到, EX1 解 注意()区间内个别点二阶导数为零或不存在, 不影响该曲线的凹凸性. (2) 由拐点的定义及定理, 可得拐点的判别法如下: 例 解 凹的凸的凹的 拐点拐点 1) 求 2) 求拐点可疑点坐标 3) 列表判别 例10 求 的凹凸区间及其拐点 。 解： 令得 当x=0时， 不存在。 用 x=0和 x = -1/2将定义域分开： 和（0，0）为曲线的拐点。 注：f (x)=0和 f (x)不存在的点均是拐点可疑点。 小结 1. 可导函数单调性判别 在 I 上单调递增 在 I 上单调递减 2.曲线凹凸与拐点的判别 + 拐点 连续曲线上的凹凸分界点 Z 思考 Z 思考
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