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返回上页页下页页目录录 第八节 多元函数的极值及其求 法 第七章 (Absolute maximum and minimum values) 一、多元函数的极值 二、条件极值 拉格朗日乘数法 三、小结与思考练习 Date1 返回上页页下页页目录录 一、 多元函数的极值及最大值、最小值 定义 若函数 则称函数在该点取得极大值(极小值). 例如 : 在点 (0,0) 有极小值 ; 在点 (0,0) 有极大值; 在点 (0,0) 无极值. 极大值和极小值 统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 的某邻域内有 Date2 返回上页页下页页目录录 说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 . 例如, 函数 偏导数, 证: 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立. 取得极值 , 取得极值 取得极值 但驻点不一定是极值点. 有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值. 且在该点取得极值 , 则有 存在 故 定理1 (必要条件) Date3 返回上页页下页页目录录 时, 具有极值 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且 令 则: 1) 当 A0 时取极小值 . 2) 当 3) 当 这个定理不加证明. 时, 没有极值. 时, 不能确定 , 需另行讨论. 若函数 定理2 (充分条件) Date4 返回上页页下页页目录录 Date5 返回上页页下页页目录录 例 1. 求函数 解: 第一步 求驻点. 得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) . 第二步 判别. 在点(1,0) 处 为极小值; 解方程组 的极值 . 求二阶偏导数 Date6 返回上页页下页页目录录 在点( 3,0) 处 不是极值; 在点( 3,2) 处 为极大值. 在点(1,2) 处 不是极值; Date7 返回上页页下页页目录录 例2.讨论函数及 是否取得极值. 解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 , 在(0,0)点邻域内的取值 , 因此 z(0,0) 不是极值. 因此为极小值. 正 负 0 在点(0,0) 并且在 (0,0) 都有 可能为 Date8 返回上页页下页页目录录 二、最值应用问题 函数f在闭域上连续 函数f 在闭域上可达到最值 最值可疑点 驻点 边界上的最值点 特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时, 为极小 值为最小 值(大)(大) 依据 Date9 返回上页页下页页目录录 提示: 首先考察函数z在三角形区域D内的极值 其次，考察函数在三角形区域的边界上的最大值和 最小值. Date10 返回上页页下页页目录录 首先考察函数Z在三角形区域D内的极值.令 解此方程组，得到D内的驻点为(2,1). 解: 令 Date11 返回上页页下页页目录录 其次，考察函数在区域D的边界上的最大值和最小值. （1）在x=0上,z=0 ; （2）在y=0上,z=0 ; （3）在x+y=6上, 解得驻点x=0和x=4 比较得最大值为4，最小值为64. Date12 返回上页页下页页目录录 把它折起来做成 解: 设折起来的边长为 x cm,则断面面积 x 24 一个断面为等腰梯形的水槽, 倾角为 , 积最大. 为 问怎样折法才能使断面面 例4 有一宽为 24cm 的长方形铁板 , Date13 返回上页页下页页目录录 令 解得: 由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有 一个驻点, 故此点即为所求. Date14 返回上页页下页页目录录 二、条件极值 拉格朗日乘数法 极值问题 无条件极值: 条 件 极 值 : 条件极值的求法: 方法1 代入法. 求一元函数的无条件极值问题 对自变量只有定义域限制 对自变量除定义域限制外, 还有其它条件限制 例如 , 转化 Date15 返回上页页下页页目录录 例 解 Date16 返回上页页下页页目录录 如方法 1 所述 , 则问题等价于一元函数 可确定隐函数 的极值问题, 极值点必满足 设 记 例如, 故 故有 方法2 拉格朗日乘数法. Date17 返回上页页下页页目录录 引入辅助函数 辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数.利用拉格 极值点必满足 则极值点满足: 朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法. Date18 返回上页页下页页目录录 拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多 个约束条件的情形. 设 解方程组 可得到条件极值的可疑点 . 例如, 求函数 下的极值. 在条件 推广 Date19 返回上页页下页页目录录 例5 要设计设计 一个容积为积为 V 的长长方形无盖水箱, 试试 问长问长 、宽宽、高各等于多少时时, 可使得表面积积达到 最小? 若设长设长 、宽宽、高各等于 x, y, z, 则则 目标标函数: 约约束条件: Date20 返回上页页下页页目录录 例5 解 此例以往的解法是从条件式解出显显函数, 例如 代入目标标函数后, 转转而求解 的普通极值问题值问题 . 可是这样这样 做并不总总是方便的, 而 且往往无法将条件式作显显化处处理, 更不用说说多个条 件式的情形了. 现现在的新办办法是设辅设辅 助函数 并求解以下方程组组: Date21 返回上页页下页页目录录 两两相减后立即得出 再代入第四式, 便求得 为为消去 , 将前三式分别别乘以 x , y , z , 则则得 Date22 返回上页页下页页目录录 得唯一稳定点 由题意可知合理的设计是存在的, 长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省. 因此 , 当高为 思考: 1) 当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何? 提示: 利用对称性可知, 2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价 最省, 应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何? 提示: 长、宽、高尺寸相等 . Date23 返回上页页下页页目录录 解 则 由 (1)，(2) 得 由 (1)，(3) 得 Date24 返回上页页下页页目录录 将 (5)，(6) 代入 (4)： 于是，得 这是唯一可能的极值点。 因为由问题本身可知，最大值一定存在， 所以， 最大值就在这个可能的极值点处取得。 故，最大值 Date25 返回上页页下页页目录录 例6 解 这这里有两个条件式, 需要引入两个拉格朗 日常数; 而且为为了方便计计算, 把目标标函数改取距离 目标标函数: 约约束条件: 的平方 (这这是等价的), 即设设 Date26 返回上页页下页页目录录 求解以下方程组组: 由此又得 再代入条件 式, 继继而求得: ( 这这里 否则则将无解 ) Date27 返回上页页下页页目录录 故原点至已知曲线线上点的最小距离与最大距离分 别为别为 最后得到 Date28 返回上页页下页页目录录 注意:应应用拉格朗日乘数法求解条件极值问题值问题 ， 产产生的方程组变组变 量个数可能比较较多，似乎解这这 个方程组组往往是很困难难，但注意我们们可以利用 变变量之间间的关系(也就是问题给问题给 出的条件)，找 到解方程组组的简简便方法，而不是要用死板的方 法去解方程组组. Date29 返回上页页下页页目录录 内容小结 1. 函数的极值问题 第一步 利用必要条件在定义域内找驻点. 即解方程组 第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 . 2. 函数的条件极值问题 (1) 简单问题用代入法 如对二元函数 (2) 一般问题用拉格朗日乘数法 Date30 返回上页页下页页目录录 设拉格朗日函数 如求二元函数下的极值, 解方程组 在条件 求驻点 . 3. 函数的最值问题 第二步 判别 比较驻点及边界点上函数值的大小 根据问题的实际意义确定最值 第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件) Date31 返回上页页下页页目录录 作业 习 题 7-8 P116 2; 8 Date32 返回上页页下页页目录录 已知平面上两定点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ), 试在椭圆 圆周上求一点 C, 使 ABC 面积 S最大. 思考练习 解答提示: 设 C 点坐标为 (x , y), 则 Date33 返回上页页下页页目录录 设拉格朗日函数 解方程组 得驻点对应面积 而比较可知, 点 C 与 E 重合时, 三角形 面积最大. 点击图中任意点 动画开始或暂停 Date34 返回上页页下页页目录录 备用题 1. 求半径为R 的圆的内接三角形中面积最大者. 解: 设内